Question

设函数,的两个极值点为,线段的中点为.
(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时，求函数图象的对称中心；
(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;
(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.

Answer 1

（1）函数图象的对称中心为（1，0）.
（2）或.
（3）由（2）得点，推出点也在函数的图象上.    
设为函数的图象上任意一点，
求得关于的对称点为 
证明在函数的图像上.证得为函数的对称中心.

试题分析：（1）【法一】因为为奇函数，所以, 得：.
当时，，有，则为奇函数.   4分
【法二】,恒成立， , 求得.
当时，，该图象可由奇函数的图象向右平移一个单位得到， 可知函数图象的对称中心为（1，0）.   4分
（2）,
令，则为两实根.,.
 
=
= , 
点在第四象限,得：  
或.    10分
（3）由（2）得点，
又
=，所以点也在函数的图象上.      12分
设为函数的图象上任意一点，
关于的对称点为 
而
=.
即在函数的图像上.
所以，为函数的对称中心.     16分
【法二】设 



 .
为奇函数，
对称中心为.
把函数的图象按向量
平移后得的图象，
 为函数的对称中心.    16分
点评：中档题，本题解法较多，紧紧围绕函数图象的对称性展开讨论。奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。