Question

18．如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=4，BC=8，O、O₁分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO₁沿直线OO₁折起，使得平面ABOO₁⊥平面OO₁DC，得到如图二所示的三棱台AO₁D-BOC，E为BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面OO₁E；
（2）若直线O₁E与平面ABCD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求三棱锥A-BOC的体积．

Answer 1

分析 （1）在等腰梯形ABCD中，O、O₁分别为两底BC、AD的中点，可得OO₁⊥BC，因此在三棱台三棱台AO₁D-BOC中，OO₁⊥BO，OO₁⊥OC，利用线面垂直的判定与性质可得OO₁⊥BC，利用等腰三角形的性质可得：OE⊥BC，即可证明．
（2）由（1）可得：OO₁⊥平面BOC，OO₁⊥BC，又平面ABOO₁⊥平面OO₁DC，可得∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{O{O}_{1}}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO₁=m，设平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-4x+4y=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用设直线O₁E与平面ABCD所成的角为θ，sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{O}_{1}E}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{O}_{1}E}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{O}_{1}E}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O₁分别为两底BC、AD的中点，
∴OO₁⊥BC，
因此在三棱台三棱台AO₁D-BOC中，OO₁⊥BO，OO₁⊥OC，
又BO∩OC=O，∴OO₁⊥平面BOC，∴OO₁⊥BC，
又BO=OC，E为BC的中点，∴OE⊥BC，
∵OO₁∩OE=O，∴BC⊥平面OO₁E；
（2）由（1）可得：OO₁⊥平面BOC，∴OO₁⊥BC，
又平面ABOO₁⊥平面OO₁DC，∴∠BOC=90°．
以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{O{O}_{1}}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．
设OO₁=m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O₁（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-m），$\overrightarrow{BC}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{{O}_{1}E}$=（2，2，-m）．
设平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-4x+4y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=1，z=$\frac{2}{m}$，即$\overrightarrow{n}$=$（1，1，\frac{2}{m}）$，
设直线O₁E与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{O}_{1}E}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{O}_{1}E}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{O}_{1}E}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8+{m}^{2}}\sqrt{2+\frac{4}{{m}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
解得 m=$\sqrt{2}$或m=2$\sqrt{2}$，
∴V_A-BOC=$\frac{1}{3}×{S}_{△BOC}×O{O}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{4}^{2}×m$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或$\frac{16\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形与等腰梯形的性质、线面角的计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．