Question

【题目】已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+ x2﹣bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x1 ， x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x+alnx，

∴f′（x）=1+ ，

∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，

∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，

解得a=1

（2）解：∵g（x）=lnx+ ﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）= ，x＞0，

由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，

即x+ +1﹣b＜0有解，

∵定义域x＞0，

∴x+ ≥2，

x+ ＜b﹣1有解，

只需要x+ 的最小值小于b﹣1，

∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}

（3）解：∵g（x）=lnx+ ﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）= =0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1

∴g（x1）﹣g（x2）=ln ﹣ （ ﹣ ）

∵0＜x1＜x2，

∴设t= ，0＜t＜1，

令h（t）=lnt﹣ （t﹣ ），0＜t＜1，

则h′（t）=﹣ ＜0，

∴h（t）在（0，1）上单调递减，

又∵b≥ ，∴（b﹣1）2≥ ，

∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，

∴0＜t≤ ，h（t）≥h（ ）= ﹣2ln2，

故所求的最小值为 ﹣2ln2

【解析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．（2）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x+ +1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln ﹣ （ ﹣ ），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．