Question

若函数f（x）=log₂（1-ax）在（-∞，1）上单调递减，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：题目给出的函数是复合函数，外层函数对数函数是增函数，要使复合函数在（-∞，1）上单调递减，需要内层函数在（-∞，1）上单调递减，可知a＞0，同时保证在x=1时，1-ax大于等于0，由此列不等式组求解a的取值范围．

解答：解：令t=1-ax，则原函数化为g（t）=log₂t，
外层函数g（t）=log₂t为增函数，
要使复合函数f（x）=log₂（1-ax）在（-∞，1）上单调递减，
则内层函数t=1-ax在（-∞，1）上单调递减，且
t=1-ax在（-∞，1）上大于0恒成立．
∴

a＞0 1-a≥0

，
解得：0＜a≤1．
∴使函数f（x）=log₂（1-ax）在（-∞，1）上单调递减的a的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了数学转化思想方法，因内层函数为减函数，把1-ax在（-∞，1）上恒大与0转化为当x=1时1-ax大于等于0．此题是中档题．