Question

椭圆

x2

8

+

y2

2

=1和双曲线

x2

4

-

y2

2

=1的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，那么∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

分析：根据椭圆和双曲线的定义可得PF₁+PF₂=2a=4

2

，PF₁-PF₂=2a′=4，解得PF₁和PF₂ 的值，三角形F₁PF₂ 中，由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂，解方程求得cos∠F₁PF₂的值，进而可得答案．

解答：解：由椭圆

x2

8

+

y2

2

=1 可得，a=2

2

，c=

6

，再根据椭圆和双曲线的定义可得
PF₁+PF₂=2a=4

2

，PF₁-PF₂=2a′=4，解得 PF₁=2

2

+2，PF₂=2

2

- 2．
三角形F₁PF₂ 中，由余弦定理可得4c²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂，
解得 cos∠F₁PF₂=0，
则∠F₁PF₂=90°，
故答案为90°．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，椭圆、双曲线的定义和标准方程，以及余弦定理的应用，求出 PF₁和PF₂的值，是解题的关键．