Question

已知椭圆

x2

8

+

y2

2

=1经过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）．
（1）当m=3时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；
（2）当m=3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；
（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）当m=3时，直线l与椭圆相离．
（2）直线l的斜率为

1

2

，设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，设直线a的方程为y=

1

2

x+b…（3分）联立

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分），故△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2，由此能求出点P到直线l距离的最小值．
（3）由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．

解答：（1）解：当m=3时，直线l与椭圆相离．…（2分）
（2）解：可知直线l的斜率为

1

2

，
设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，
设直线a的方程为y=

1

2

x+b…（3分）
联立

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分）
∴△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2（5分）
∴直线a的方程为y=

1

2

x±2．
所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线y=

1

2

x+3的距离    …（6分）
d=

3-2

12+( 1 2 )2

=

2 5

5

．…（7分）
（3）证明：由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，得x²+2mx+2m²-4=0，
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，…（9分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

…（10分）
=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

…（11分）
=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

           
=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1 -2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴k₁+k₂=0…（13分）
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．…（14分）

点评：本题考查直线l椭圆的位置关系的判断，求点到直线距离的最小值，证明两直线与x轴始终围成一个等腰三角形．综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．