Question

若函数f（x）=log₂x+x-k（k∈Z^*）在区间（2，3）上有零点，则k=

4

．

Answer 1

分析：判断出函数f（x）在（2，3）上是单调函数，根据零点的存在性定理，则有f（2）f（3）＜0，列出不等式，求解即可得到k的取值范围，结合k∈Z^*，即可得到k的值．

解答：解：∵y=log₂x在（2，3）上单调递增，y=x-k在（2，3）上单调递增，
∴函数f（x）=log₂x+x-k在区间（2，3）上单调递增，
∵f（x）=log₂x+x-k
∴f（2）=log₂2+2-k=3-k，f（3）=log₂3+3-k，
根据零点的存在性定理，
∴f（2）f（3）＜0，即（3-k）（log₂3+3-k）＜0，
∴3＜k＜log₂24，
∵4＜log₂24＜5，且k∈Z^*，
∴k=4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查了函数的零点，解答的关键是零点存在定理，即连续的单调函数在区间（a，b）上有零点，则f（a）与f（b）异号，属于基础题．