题目内容
【题目】设函数
，
，
（1）求曲线
过原点的切线方程；
（2）设
，若函数
的导函数
存在两个不同的零点
，
，求实数
的范围：
（3）在（2）的条件下证明：
【答案】（1）
；（2）
；（3）证明见解析.
【解析】
（1）利用导数的几何意义求出直线斜率，点斜式即可求出直线方程；
（2）函数
存在两个不同的零点
，转化为一元二次方程有两个不同的正根，利用方程根的分布即可求解；
（3）化简
，构造函数
，利用导数求其最小值即可求证.
（1）设切点坐标为
，
所以
.
所以切线方程为
.
又因为切线过原点，所以
所以
，所以
故所求切线方程为.
（2）∵
∴
因为函数
的导函数存在两个不同的零点，
，
所以方程
有两个不同的正根，，
所以
解得.
（3）由
，得，则由已知
，
∵
，
∴
∴
设函数
所以
所以
在区间
上单调递减
所以
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