Question

函数f（x）=x|x|+x³+2在[-2013，2013]上的最大值与最小值之和为

4

．

Answer 1

分析：化简函数为f（x）=

x3+x2+2   (x≥0) x3-x2+2   (x＜0)

，x≥0时，求f（x）的最大值与最小值；x＜0时，求f（x）的最小值与极大值；
比较得f（x）在[-2013，2013]上的最大值与最小值是f（-2013），从而求其和．

解答：解：函数f（x）=x|x|+x³+2=

x3+x2+2   (x≥0) x3-x2+2   (x＜0)

，
∴当x≥0时，f（x）=x³+x²+2，f′（x）=3x²+2x；
令f′（x）=0，即3x²+2x=0，解得x=0或x=-

2

3

；
∴当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，2013]上的最大值是f（2013）=2013³+2013²+2，最小值是f（0）=2；
当x＜0时，f（x）=x³-x²+2，f′（x）=3x²-2x；
令f′（x）=0，即3x²-2x=0，解得x=0或x=

2

3

；
∴当x＜0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）[-2013，0）上的最小值是f（-2013）=（-2013）³-（-2013）²+2=-2013³-2013²+2，且f（x）＜f（0）=2；
∴f（x）在[-2013，2013]上的最大值是f（2013），最小值是f（-2013），
∴最大值与最小值之和为f（2013）+f（-2013）=（2013³+2013²+2）+（-2013³-2013²+2）=4；
故答案为：4．

点评：本题考查了利用导数求分段函数在闭区间上的最值问题，要在每一个区间上求出最值，然后比较得出最大值与最小值；是易错题．