Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. 

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n,b_n的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

解析:

(1)第1年投入为800万元，

第2年投入为800×(1－)万元，…

第n年投入为800×(1－)^n－1万元，

所以，n年内的总投入为:

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1

=800×(1－)^k－1=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游业收入为400万元，

第2年旅游业收入为400×(1+)，…，

第n年旅游业收入400×(1+)^n－1万元 

所以，n年内的旅游业总收入为

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1

=400×()^k－1=1600×［()ⁿ－1］

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b_n－a_n＞0，即1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，

令x=()ⁿ，代入上式得: 5x²－7x+2＞0 

解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去) 

即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.