Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

1

5

．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1

4

．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

分析：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量a_n，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+

1

4

）万元，归纳出第n年旅游业收入为400×（1+

1

4

）^n-1万元．从而得出n年内的旅游业总收入b_n．
（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b_n-a_n＞0，解得n的取值范围即可．

解答：解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1-

1

5

）万元，第n年投入为800×（1-

1

5

）^n-1万元．
所以，n年内的总投入为
a_n=800+800×（1-

1

5

）+…+800×（1-

1

5

）^n-1=

n

k=1

800×(1-

1

5

)k-1
=4000×[1-（

4

5

）ⁿ]；（3分）
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+

1

4

）万元，
第n年旅游业收入为400×（1+

1

4

）^n-1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
b_n=400+400×（1+

1

4

）+…+400×（1+

1

4

）^n-1=

n

k=1

400×(

5

4

)k-1
=1600×[（

5

4

）ⁿ-1]．（6分）
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b_n-a_n＞0，
即1600×[（

5

4

）ⁿ-1]-4000×[1-（

4

5

）ⁿ]＞0．
化简得5×（

4

5

）ⁿ+2×（

5

4

）ⁿ-7＞0，（9分）
设x=（

4

5

）ⁿ，代入上式得
5x²-7x+2＞0，
解此不等式，得x＜

2

5

，x＞1（舍去）．
即（

4

5

）ⁿ＜

2

5

，
由此得n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）

点评：本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．