题目内容
【题目】“星际子弹”被认为是稠密气体团，它们像弹道式粒子一样穿过低密度星际气体云.宇宙某处，有一球状低密度均匀气体云，质量为
，半径为
，一“星际子弹”的半径远小于，质量
，子弹对气体云中心的角动量
，子弹的总能量
，忽略所有非引力作用.
（1）试问：此子弹的运动是总在云里，总在云外，还是有时在云里有时在云外？
（2）求子弹运动轨道的转折点与气体云中心的距离.
（3）讨论子弹运动轨道的形状，并求其运动周期.
【答案】（1）子弹总在云里 （2）
，
（3）
【解析】
（1）子弹受到气体云团的万有引力可表示为
在
区域：
.
在
区域：
.
若取无穷远处为引力势能的零点，则引力势能可表示为
在区城：
.
在区域：在
处的势能为
；在区域内，因所受引力满足
，当取中心为零势点时，
，现取处的势能为，则在区域内的势能为
.
如图甲所示为子弹的势能曲线.由题意可知，子弹的总能量为
，而子弹能出现的区域应该有
，由图可知，只有在
的区域子弹才有可能出现，而
，这就是说，子弹总在云里.
（2）下面讨论子弹的转折点.
引入子弹的有效势能：
，
式中
为子弹对气体云中心的角动量，本题中
，
所以，
.
子弹的机械能为
.
在转折处，应有
，所以，
.
整理得
.
此方程的解即为子弹轨道转折点与气体云中心的距离，即
，.
（3）由（2）小题中讨论计算可知，两个转折点
和
即为如图乙所示的子弹有效势能曲线图中子弹的机械能与有效势能曲线的两个交点所在位置.因此，子弹运动为椭圆轨道，其半长轴
和半短轴
分别为
，
，
形状大致如图丙所示.可见轨道中共有四个转折点.由于椭圆的面积
为
.
由于子弹相对气体云中心角动量守恒，可知其面积速率
为恒量：
.
故子弹轨道运动的周期为
.
首先，我们应对有效势能的引入作一说明：当质点在一维势场中运动时，常采用势能曲线来讨论质点的运动，而当质点在固定力心的引力场中做二维（即二变量
、
）运动时，为便于讨论其矢径（）的变化范围，常引进有效势能
，有效势能由两部分构成：一部分是引力势能
，另一部分则是其机械能中的横向速度对应的动能
.
由于质点相对固定力心角动量守恒，即
，因此，可用
来替换，于是有.
可见有效势能仅是的函数，而体系机械能
也只是的函数，即
.
这与质点做一维（一个变量）运动相仿，只要作出有效势能曲线，就可很方便地讨论质点径向运动的范围.
其次，本题中系统的引力势能的表述也是值得关注的，通常情况下，当我们只在气体团内部进行研究时，我们取中心为势能零点；当我们只在气体团外部进行研究时，我们又可取无穷远处为势能零点，而将它们统一起来时，我们既可取引力中心为势能零点，也可取无穷远处为势能零点，这样，其表达式是各不相同的，但并不会影响物体运动时势能的变化.
这一问题在研究原子时也会出现.
最后，稠密气体团与“星际子弹”都是不太常见的模型，但通过本题的解答，我们不难看出，它们实际上是卫星与中心天体的变形而已，熟悉了这一思路，在处理“神秘”的天体问题时，一般都不会有大的障碍.
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