Question

【题目】两艘相同的宇宙飞船分别用随飞船携带的火箭发动机从环绕地球运转的空间站发射出来，飞船恰好能逃离太阳系，飞船恰好能落向太阳的中心.若火箭工作时间相同，试证飞船比飞船需要有更大功率的火箭.假设地球围绕太阳运动的轨道为圆形，忽略空间站与地球的相对速度，忽略火箭喷发的燃料质量.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

飞船、的质量均记为，地球绕太阳运动速度记为，地球与太阳相距，太阳质量记为.因忽略空间站与地球的相对速度，空间站相对太阳的速度也为，为使恰好能逃离太阳系，要求它的总机械能为零.假设火箭工作后使的速度为，则有

.

节省的方法是让飞船顺着原空间站运动方向发射，故发射的附加速度即为上式中，可以求得

，

即有.

被发射后，仅当它的切向速度降为零时才能恰好落向太阳的中心，为节省起见可让径向速度为零.可见为反向发射，发射的附加速度为.

为使、各有附加速度、，发动机需做功，而做功的计算必须在某参考系中进行.考虑到需要应用动量守恒及功能关系，应选取惯性系进行计算.

先取空间站未发射、前，与它一起以速度运动的惯性系，因很大，故在一段不太长的时间内可近似处理为惯性系.通常空间站质量，不必考虑飞船发射前后的变化.在系中，发射的前后系统动量守恒式为

，

其中为发射后喷出的燃气使空间站获得的相对系的速度.

火箭做功便为，

计算可得.

同样可算得，在系中飞船的火箭做功量为

.

因，故，发射时间相同的条件下，发射功率的大小关系便为，即比需要有更大功率的火箭.

若改取太阳作惯性系，则必须注意中火箭做功并不是.在此系中，发射前后的动量守恒关系为

，

其中为空间站相对太阳的末速度.

由上式可得，

中火箭做功为

，

整理得.

可见，.

同样可导得中火箭做功也为

，

.

所得结论与在系中所得结论一致.

对于不同的系统，物体的动能与势能并不一定是相同的，转换系统时，必然对应着动能与势能的相应转化.

我们在发射卫星或研究太空的飞行体时，通常都会涉及发射体从一个星球系统向另一个星球系统过渡的情况，如发射体从地球系统到太阳系统，或从地球系统到月球系统，如从能量的角度来考查对象的规律特征，都存在着不同系统的能量转化问题，这一点往往被同学们忽视或感到迷惑不解的.其实，只要明白，动能是与速度相关的，而选择不同的参照系，物体的运动速度便不相同，其动能自然不再相同，而势能是物体间相互作用的能量，选择不同的系统，其作用情况不同，那么，其势能也是不相同的，这样，解题时自然也就不会再迷惑.