Question

【题目】六条腿桌子放在水平地面上，如图甲所示，尺寸如图乙所示，桌面是刚性的，各条腿完全相同。

(1).证明：在图示菱形区域内任意点处，施加一铅垂力时，六条腿都与地面接触。

(2).在上述情况下，求各条腿的内力。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）. ；；；；；

【解析】

如图乙所示，取坐标系，设力作用点的坐标为，平衡时力等效于作用在中心的力和分别沿方向和方向的力偶和，其大小为

，，.

可分别求出在力、力偶和单独作用下各腿的反力，然后叠加起来，所得的结果，就是在力作用下各腿的内力。

由静力平衡条件，桌腿的对称性及由桌面刚性条件而列出的变形协调条件，不难分别求出作用在中心的，，引起的各腿的反力。

在力作用下，各腿受力相同。

.

在作用下，，

故，

故，.

这里取正值为压力，并暂时假定有些腿可以承受拉力，在作用下，有

，，.

以上三者叠加起来得

，，

，，

，.

由于桌腿只承受压力，所以必须保证上述各内力均为非负值的解答才是正确的。

即令，其中如果力作用在桌面内，，自然满足，由其他四个不等式可得.

这就是图中的菱形区，当力的作用点在这个菱形区域内时，各腿与地面接触，此时各腿的内力（压力）已如上述。