Question

【题目】如图甲所示，杆放在圆筒内，杆的端用铰链固定在筒壁与筒底的交界处，杆的点靠在筒的边缘上。两点位于通过圆筒轴的竖直平面内，杆与水平线所成的角度为。使杆沿筒的边缘移动到点，为。试问：摩擦系数最小为多少，杆在位置能保持平衡？

Answer 1

【答案】

【解析】

方法1 作用在杆上的力有：重力、点处铰链的支持力、点处的圆筒的支持力和摩擦力。杆平衡的条件是这些力的合力为零以及力矩的代数和为零。对于通过点竖直轴，铰链的支持力力矩和杆重力力矩都为零，则力和的合力一定通过杆的竖直平面。我们分析合力的水平分量，确定和的方向以及它们在水平面的投影值——和，坐标轴分别为从点指向圆心、圆的切线方向和竖直向上的方向上（如图乙所示）.

我们引入三个单位矢量，其方向分别沿杆、力和力。设与水平线成角。由于杆转动，杆所在竖直平面转动角。在图丙中，表示筒高，表示圆筒的半径。在中，；在中，。在中，.

因而.

用单位矢量和来表示.

.

力垂直于杆并且与圆相切于点，由此可知，矢量垂直于矢量和矢量，即

. ①

由此得到角和之间的关系为.

为了确定矢量的方向，考虑到它也垂直于矢量和矢量，经不太复杂的计算得到

②

由①和②可以得到，；

，

.

正如已指出的那样，力和力的合力在水平方向投影应位于杆的铅直平面内，即

.

摩擦系数的最小值由关系式确定，于是.

方法2 支持力应垂直于过点且与圆相切的切线和杆.

因为垂直于平面，所以垂直于切线。

又垂直于切线，所以支持力必在平面内。

如图丁所示，取的中点，连，则，取的中点，连。

，，

垂直于平面，

平面垂直于.

过作垂直于，交于点，过点作，则为支持力的方向。

因为杆的重力在平面内，由三力交汇原理知，处的全反力在平面内，即与的合力在内。

， .

又平面垂直于平面，

在平面中时，满足.

.

又，，

，

又，

.