Question

【题目】如图所示，课桌面与水平面夹角成，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动。

（1）求在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数.

（2）铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？

Answer 1

【答案】

【解析】

根据我们学习生活的经验，在倾斜桌面上放一支六棱柱形铅笔，当笔杆垂直于斜面母线时，最不易滚下来而会先发生滑动. 事实上，放置在斜面上的铅笔恰能处于平衡，必有，式中为最大静摩擦力，为铅笔质量.

则，即摩擦角恰等于斜面倾角.

若，放置在斜面上的笔无论以怎样的角放置，总不会因发生滑动而破坏平衡.

但是，还有一个向下移动的问题存在. 就“稳度”而言，当角为某一临界值时，重力作用线超出斜面对铅笔的支持面，则铅笔会在重力矩作用下离开原平衡位置而滚下来，现在来求这个角.

如图乙所示，阴影部分表示笔与桌的接触面，正六边形表示笔的横截面，为笔的质心，它在斜面上的投影为，重力作用线从接触面“擦边而过”. 由图示几何关系可知，为正六边形边长；；；（注意：垂直于斜面母线，垂直于棱线）.

在临界状态下，，故.

只要重力作用线落在阴影区内，即有.

即，笔就不会滚动，故放置笔时，应使铅笔的轴与斜面母线所成的角为.

在竞赛物理中，很多静平衡问题涉及空间问题，由于学生中相当部分的任缺乏空间想象力，空间问题成为中学阶段学生的难点之一.

在静力学中的空间问题，除了模型结构的几何关系外，必然将作用力的方向牵扯进来，其作用力系衍变为复杂的空间力系，我们处理这类问题的方法或者是通过降维的方式，将空间力系转化为几个平面力系进行处理，或者是直接进行相应的矢量运算. 不论是什么方法，都需要我们在常规教学的基础上补充知识，强化我们的空间想象力.