1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $。
(1) $ ∠ A $ 的对边为 ，$ ∠ A $ 的邻边为 ；$ ∠ B $ 的对边为 ，$ ∠ B $ 的邻边为 ；
(2) 如果 $ AB = 5 $，$ BC = 4 $，那么 $ \tan A = $，$ \tan B = $。
(1) $ ∠ A $ 的对边为 ，$ ∠ A $ 的邻边为 ；$ ∠ B $ 的对边为 ，$ ∠ B $ 的邻边为 ；
(2) 如果 $ AB = 5 $，$ BC = 4 $，那么 $ \tan A = $，$ \tan B = $。
答案：
(1) $BC$；$AC$；$AC$；$BC$；
(2) $\frac{4}{3}$；$\frac{3}{4}$。
(1) $BC$；$AC$；$AC$；$BC$；
(2) $\frac{4}{3}$；$\frac{3}{4}$。
解析：
(1) 在直角三角形中，对于一个锐角，其对边是指与该角相对的边，邻边是指与该角相邻的直角边。
在$Rt△ ABC$中，对于$∠A$，其对边为$BC$，邻边为$AC$；对于$∠B$，其对边为$AC$，邻边为$BC$。
(2) 已知$AB = 5$，$BC = 4$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
根据正切函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。
所以$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$。
在$Rt△ ABC$中，对于$∠A$，其对边为$BC$，邻边为$AC$；对于$∠B$，其对边为$AC$，邻边为$BC$。
(2) 已知$AB = 5$，$BC = 4$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
根据正切函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。
所以$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$。
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，如果各边长度都扩大 $ 2 $ 倍，那么锐角的正切值 ()
A.没有变化
B.扩大 $ 2 $ 倍
C.缩小 $ 2 $ 倍
D.不能确定
A.没有变化
B.扩大 $ 2 $ 倍
C.缩小 $ 2 $ 倍
D.不能确定
答案：A
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A的对边为a，邻边为b，则tanA=a/b。各边长度扩大2倍后，新的对边为2a，邻边为2b，新的tanA=(2a)/(2b)=a/b，所以锐角的正切值没有变化。
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $。
(1) 若 $ AC : BC = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $，$ \tan B = $；
(2) 若 $ AC : AB = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $，$ \tan B = $。
(1) 若 $ AC : BC = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $，$ \tan B = $；
(2) 若 $ AC : AB = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $，$ \tan B = $。
答案：2；1/2；√3；√3/3
解析：
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC:BC=1:2，设AC=k，BC=2k。
tanA=BC/AC=2k/k=2；tanB=AC/BC=k/(2k)=1/2。
(2) AC:AB=1:2，设AC=m，AB=2m。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(4m²-m²)=√3m。
tanA=BC/AC=√3m/m=√3；tanB=AC/BC=m/(√3m)=1/√3=√3/3。
tanA=BC/AC=2k/k=2；tanB=AC/BC=k/(2k)=1/2。
(2) AC:AB=1:2，设AC=m，AB=2m。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(4m²-m²)=√3m。
tanA=BC/AC=√3m/m=√3；tanB=AC/BC=m/(√3m)=1/√3=√3/3。
4. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ BC = 2 $，$ \tan A = \dfrac{1}{2} $，则 $ AC $ 的长为 ()
A.$ 4 $
B.$ 8 $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 4\sqrt{5} $
A.$ 4 $
B.$ 8 $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 4\sqrt{5} $
答案：A
解析：
在 $ \mathrm{Rt} △ABC $ 中，$ ∠C = 90° $，$ BC = 2 $，$ \tan A = \frac{1}{2} $。
根据正切的定义，$ \tan A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} $，
即：$ \frac{2}{AC} = \frac{1}{2} $，
解得：$ AC = 4 $。
根据正切的定义，$ \tan A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} $，
即：$ \frac{2}{AC} = \frac{1}{2} $，
解得：$ AC = 4 $。
5. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，$ \tan ∠ DCB = \dfrac{3}{4} $，$ AC = 12 $，则 $ BC = $。
答案：9
解析：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，又∠A+∠ACD=90°（Rt△ACD中），∴∠A=∠DCB。
∵tan∠DCB=3/4，∴tan∠A=tan∠DCB=3/4。
在Rt△ABC中，tan∠A=BC/AC，AC=12，∴BC=AC·tan∠A=12×3/4=9。
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，又∠A+∠ACD=90°（Rt△ACD中），∴∠A=∠DCB。
∵tan∠DCB=3/4，∴tan∠A=tan∠DCB=3/4。
在Rt△ABC中，tan∠A=BC/AC，AC=12，∴BC=AC·tan∠A=12×3/4=9。
6. （教材 $ \mathrm{P}4 $ 练习 $ \mathrm{T}2 $·改编）如图，某人从山脚下的点 $ A $ 处出发，走了 $ 200 \mathrm{ m} $ 后到达山顶 $ B $，已知山顶 $ B $ 到山脚的垂直距离 $ BD $ 是 $ 120 \mathrm{ m} $，求山的坡度。
答案：① 由题意，$AB = 200\mathrm{ m} , BD = 120 \mathrm{ m}$。
② 在$Rt \bigtriangleup ABD$中，由勾股定理，得：
$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{200^{2} - 120^{2}} = 160\mathrm{ (m)}$。
③ 山的坡度$i$为$BD$与$AD$的比值：
$i = \frac{BD}{AD} = \frac{120}{160} = \frac{3}{4} (或 0.75)$。
所以，山的坡度为$ 3:4（或 0.75）$。
② 在$Rt \bigtriangleup ABD$中，由勾股定理，得：
$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{200^{2} - 120^{2}} = 160\mathrm{ (m)}$。
③ 山的坡度$i$为$BD$与$AD$的比值：
$i = \frac{BD}{AD} = \frac{120}{160} = \frac{3}{4} (或 0.75)$。
所以，山的坡度为$ 3:4（或 0.75）$。
7. 如图，某人从山脚下沿着坡度 $ i = 1 : \sqrt{3} $ 的山坡向山顶走了 $ 1000 \mathrm{ m} $，则他在竖直方向上升了 $ \mathrm{m} $。
答案：500
解析：
由题意知，坡度 $ i = 1 : \sqrt{3} $，即高度变化与水平距离变化的比为 $ 1 : \sqrt{3} $。
设高度上升为 $ h $ 米，水平距离为 $ d $ 米，则 $ \frac{h}{d} = \frac{1}{\sqrt{3}} $，即 $ d = h \sqrt{3} $。
根据勾股定理，斜边（即行走的距离）为：
$ \sqrt{h^2 + (h \sqrt{3})^2} = \sqrt{h^2 + 3h^2} = \sqrt{4h^2} = 2h $。
题目给出斜边为 $ 1000 $ 米，因此：
$ 2h = 1000 $，
$ h = 500 $。
所以他在竖直方向上升了 $ 500 $ 米。
设高度上升为 $ h $ 米，水平距离为 $ d $ 米，则 $ \frac{h}{d} = \frac{1}{\sqrt{3}} $，即 $ d = h \sqrt{3} $。
根据勾股定理，斜边（即行走的距离）为：
$ \sqrt{h^2 + (h \sqrt{3})^2} = \sqrt{h^2 + 3h^2} = \sqrt{4h^2} = 2h $。
题目给出斜边为 $ 1000 $ 米，因此：
$ 2h = 1000 $，
$ h = 500 $。
所以他在竖直方向上升了 $ 500 $ 米。
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