知识回顾
答案：长度；斜边；$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
一、探索勾股定理
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C = 2:1:1$，$a$，$b$，$c$分别是$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边，则下列等式成立的是(
A.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.$a^{2}=2c^{2}$
C.$c^{2}=2a^{2}$
D.$c^{2}=2b^{2}$
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C = 2:1:1$，$a$，$b$，$c$分别是$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边，则下列等式成立的是(
B
)A.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.$a^{2}=2c^{2}$
C.$c^{2}=2a^{2}$
D.$c^{2}=2b^{2}$
答案：B
解析：
∵∠A:∠B:∠C=2:1:1，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∠B=∠C=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，a为斜边，b=c。由勾股定理得a²=b²+c²=2c²。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 9$，$BC = 12$，则点$C$到$AB$的距离是(
A.$\dfrac{36}{5}$
B.$\dfrac{12}{25}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
A
)A.$\dfrac{36}{5}$
B.$\dfrac{12}{25}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
答案：A
解析：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，由勾股定理得，$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{81 + 144} = 15$，
设点$C$到$AB$的距离为$h$，
则$Rt \bigtriangleup ABC$的面积可以表示为$\frac{1}{2}AB · h = \frac{1}{2} × 15 · h$，
也可以表示为$\frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2} × 9 × 12$，
所以$\frac{1}{2} × 15 · h = \frac{1}{2} × 9 × 12$，
解得$h = \frac{36}{5}$。
设点$C$到$AB$的距离为$h$，
则$Rt \bigtriangleup ABC$的面积可以表示为$\frac{1}{2}AB · h = \frac{1}{2} × 15 · h$，
也可以表示为$\frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2} × 9 × 12$，
所以$\frac{1}{2} × 15 · h = \frac{1}{2} × 9 × 12$，
解得$h = \frac{36}{5}$。
3. 放学以后，小红和小颖在学校门口分开，分别沿东南方向和西南方向回家。若小红和小颖行走的速度都是$40\ \mathrm{m/min}$，小红用$15\ \mathrm{min}$到家，小颖用$20\ \mathrm{min}$到家，则小红家和小颖家之间的直线距离为
1000
$\mathrm{m}$。答案：$1000$
解析：
根据题意，小红和小颖行走的速度和时间，计算各自回家的距离：
小红回家的距离为：$40 \mathrm{ m/min} × 1\mathrm{5 min} = 600 \mathrm{ m}$，
小颖回家的距离为：$40\mathrm{ m/min} × 20\mathrm{ min} = 800\mathrm{ m}$，
由于小红和小颖分别沿东南和西南方向行走，它们行走的路线成直角。因此，小红家、小颖家和学校构成一个直角三角形，其中直角边分别为600m和800m。
利用勾股定理计算小红家和小颖家之间的直线距离：
$\mathrm{直线距离} = \sqrt{600^2 + 800^2} = \sqrt{360000 + 640000} = \sqrt{1000000} = 1000 \mathrm{ m}$。
小红回家的距离为：$40 \mathrm{ m/min} × 1\mathrm{5 min} = 600 \mathrm{ m}$，
小颖回家的距离为：$40\mathrm{ m/min} × 20\mathrm{ min} = 800\mathrm{ m}$，
由于小红和小颖分别沿东南和西南方向行走，它们行走的路线成直角。因此，小红家、小颖家和学校构成一个直角三角形，其中直角边分别为600m和800m。
利用勾股定理计算小红家和小颖家之间的直线距离：
$\mathrm{直线距离} = \sqrt{600^2 + 800^2} = \sqrt{360000 + 640000} = \sqrt{1000000} = 1000 \mathrm{ m}$。
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