1. 下列选项中，$∠ 1$与$∠ 2$是对顶角的是()
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答案：C
解析：
对顶角是指一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角。根据定义，只有当两条直线相交时，形成的两个相对的角是对顶角。在选项A、B中，∠1与∠2不是由两条直线相交形成的对顶角；选项C，∠1与∠2有公共顶点，但∠1的边不是∠2的边的反向延长线，所以∠1与∠2不是对顶角；选项D，∠1与∠2是由两条直线相交形成的对顶角。
2. 下列说法错误的是()
A.顶点相同且两边互为反向延长线的两个角是对顶角
B.对顶角相等
C.相等的角是对顶角
D.对顶角的余角相等
A.顶点相同且两边互为反向延长线的两个角是对顶角
B.对顶角相等
C.相等的角是对顶角
D.对顶角的余角相等
答案：C
解析：
A.顶点相同且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，正确；B.对顶角相等，正确；C.相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，错误；D.对顶角相等，所以它们的余角也相等，正确。
3. 如图，直线$AB$，$CD$交于点$O$，射线$OM$平分$∠ AOC$，若$∠ BOD = 76^{\circ}$，则$∠ AOM$等于()
A.$38^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$28^{\circ}$
D.$24^{\circ}$
A.$38^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$28^{\circ}$
D.$24^{\circ}$
答案：A
解析：
由于直线$AB$和$CD$交于点$O$，所以$∠AOC$和$∠BOD$是对顶角，因此相等。
已知$∠BOD=76°$，所以$∠AOC=76°$。
射线$OM$平分$∠AOC$，所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×76°=38°$。
已知$∠BOD=76°$，所以$∠AOC=76°$。
射线$OM$平分$∠AOC$，所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×76°=38°$。
4. 如图，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，则：
(1)若$∠ 1+∠ 3 = 68^{\circ}$，则$∠ 1 =$.
(2)若$∠ 2:∠ 3 = 4:1$，则$∠ 2 =$.
(3)若$∠ 2-∠ 1 = 100^{\circ}$，则$∠ 3 =$.
(1)若$∠ 1+∠ 3 = 68^{\circ}$，则$∠ 1 =$.
(2)若$∠ 2:∠ 3 = 4:1$，则$∠ 2 =$.
(3)若$∠ 2-∠ 1 = 100^{\circ}$，则$∠ 3 =$.
答案：34°；144°；40°
解析：
(1)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3。∵∠1+∠3=68°，∴2∠1=68°，∠1=34°。
(2)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠2与∠3是邻补角，∠2+∠3=180°。∵∠2:∠3=4:1，设∠2=4x，∠3=x，∴4x+x=180°，5x=180°，x=36°，∠2=4×36°=144°。
(3)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠1与∠2是邻补角，∠1+∠2=180°。∵∠2-∠1=100°，联立得∠1+∠2=180°，∠2-∠1=100°，两式相加得2∠2=280°，∠2=140°，∴∠1=180°-∠2=40°。∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=40°。
(2)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠2与∠3是邻补角，∠2+∠3=180°。∵∠2:∠3=4:1，设∠2=4x，∠3=x，∴4x+x=180°，5x=180°，x=36°，∠2=4×36°=144°。
(3)∵直线AB，CD相交于点O，∴∠1与∠2是邻补角，∠1+∠2=180°。∵∠2-∠1=100°，联立得∠1+∠2=180°，∠2-∠1=100°，两式相加得2∠2=280°，∠2=140°，∴∠1=180°-∠2=40°。∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=40°。
5. 如图，三条直线$a$，$b$，$c$交于点$O$，$∠ 1 = 37^{\circ}$，$∠ 2 = 53^{\circ}$，则$∠ 3 =$.
答案：90°
解析：
因为直线a，b，c交于点O，所以∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）。已知∠1=37°，∠2=53°，则∠3=180°-∠1-∠2=180°-37°-53°=90°。
6. 如图，直线$AB$，$CD$，$EF$相交于点$O$，$∠ AOE = 30^{\circ}$，$∠ BOC = 2∠ AOC$，求$∠ DOF$的度数.
答案：解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x。
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC+∠BOC=180°（邻补角互补），
即x+2x=180°，解得x=60°，
∴∠AOC=60°。
∵∠AOE=30°，直线EF过点O，
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°-30°=150°（邻补角互补）。
∵∠AOD=180°-∠AOC=180°-60°=120°（邻补角互补），
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=150°-120°=30°。
答：∠DOF的度数为30°。
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC+∠BOC=180°（邻补角互补），
即x+2x=180°，解得x=60°，
∴∠AOC=60°。
∵∠AOE=30°，直线EF过点O，
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°-30°=150°（邻补角互补）。
∵∠AOD=180°-∠AOC=180°-60°=120°（邻补角互补），
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=150°-120°=30°。
答：∠DOF的度数为30°。
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