一元二次方程的一般形式是 $ax^{2}+bx+c=0$（其中 $a\neq0$，$a$、$b$、$c$ 是常数）。
选项A：方程 $3x^{2}+\frac{2}{x}-1 = 0$ 中含有分式 $\frac{2}{x}$，不满足整式方程这一条件，所以不是一元二次方程。
选项B：将方程 $x(x - 3)=x^{2}+2$ 展开得 $x^{2}-3x=x^{2}+2$，移项后得 $-3x - 2 = 0$，此时二次项系数为 $0$，不是一元二次方程。
选项C：当 $a = 0$ 时，方程 $ax^{2}-x + 2 = 0$ 变为 $-x + 2 = 0$，是一次方程，不一定是一元二次方程。
选项D：方程 $x^{2}+x = 4$ 可化为 $x^{2}+x - 4 = 0$，符合一元二次方程的一般形式，且二次项系数不为 $0$。

一元二次方程的一般形式为 $ax^{2} + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
先将原方程 $4x^{2} + 1 = 6x$ 转化为一般形式，即移项得到：
$4x^{2} - 6x + 1 = 0$。
从这个一般形式的方程中，可以直接读出：
二次项系数 $a = 4$，
一次项系数 $b = -6$，
常数项 $c = 1$。

已知 $a + b = 3$，$a - b = 7$，
将两式相加得：
$(a + b) + (a - b) = 3 + 7$
$2a = 10$
$a = 5$
将 $a = 5$ 代入 $a + b = 3$ 得：
$5 + b = 3$
$b = -2$
因此 $ab = 5 × (-2) = -10$。

已知$x = 1$是方程$x^{2}+ax - 3 = 0$的一个根，将$x = 1$代入方程可得：
$1^{2}+a×1 - 3 = 0$，即$1 + a - 3 = 0$，
化简得$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。

首先，将方程 $2x^{2} = 1$ 化为 $x^{2} = \frac{1}{2}$的形式，
对方程两边同时开平方，得到：
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$，
化简得：
$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

根据平方根的定义，若$a^{2}=b$，则$a=\pm\sqrt{b}$。
对于方程$(x + 6)^{2}=16$，可得$x + 6=\pm\sqrt{16}$，即$x + 6 = 4$或$x + 6 = - 4$。
已知其中一个一元一次方程是$x + 6 = 4$，那么另一个一元一次方程是$x + 6 = - 4$。