已知方程 $(a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$，将 $x = 0$ 代入方程得：
$(a - 1) · 0^{2} - 2 · 0 + a^{2} - 1 = 0$，
化简得：$a^{2} - 1 = 0$，
解得：$a = \pm 1$。
由于方程为一元二次方程，二次项系数 $a - 1 \neq 0$，即 $a \neq 1$，因此 $a = -1$。

将方程$3x^{2}+27=0$移项，
得：$3x^{2}= - 27$，
两边同时除以3，得：$x^{2}=-9$，
因为一个数的平方不可能为负数，
所以该方程无实数根。

解方程$x^{2} - 7x + 10 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 5) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 5$。
当等腰三角形的腰长为$2$时，三边长分别为$2$，$2$，$5$，此时$2 + 2 ＜ 5$，不满足三角形三边关系，舍去。
当等腰三角形的腰长为$5$时，三边长分别为$5$，$5$，$2$，满足三角形三边关系，此时周长为$5 + 5 + 2 = 12$。

∵方程有两个实数根，∴判别式Δ=2²-4×1×(m-2)=12-4m≥0，解得m≤3。
∵m为正整数，∴m=1,2,3。
m=1时，方程为x²+2x-1=0，根为-1±√2，非整数，舍去；
m=2时，方程为x²+2x=0，根为0和-2，均为整数，符合；
m=3时，方程为x²+2x+1=0，根为-1（二重根），为整数，符合。
符合条件的m为2,3，和为2+3=5。

根据韦达定理，方程 $2x^2 + mx + n = 0$ 的两根之和为 $-\frac{m}{2}$，两根之积为 $\frac{n}{2}$。
已知两根为 $-2$ 和 $1$，则：
两根之和：$-2 + 1 = -1 = -\frac{m}{2} \Rightarrow m = 2$，
两根之积：$-2 × 1 = -2 = \frac{n}{2} \Rightarrow n = -4$。
因此，$n^m = (-4)^2 = 16$。

因为二次三项式$x^2 - ax + 2a - 3$是完全平方式，所以常数项等于一次项系数一半的平方，即$(\frac{-a}{2})^2 = 2a - 3$。化简得$\frac{a^2}{4} = 2a - 3$，两边乘4得$a^2 = 8a - 12$，移项得$a^2 - 8a + 12 = 0$，因式分解为$(a - 2)(a - 6) = 0$，解得$a = 2$或$a = 6$。

由题意得，方程是关于$x$的一元二次方程，所以$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
所以有$m^2 - 2 = 2$，且$m - 2 \neq 0$，
解$m^2 - 2 = 2$得$m^2 = 4$，所以$m = \pm 2$，
又因为$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$，
所以$m = - 2$。

∵$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+3x - 5=0$的两个根，
∴由韦达定理得：$x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=-5$。
$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=(-5)×(-3)=15$。

因为$x = 1$是方程$x^{2}+ax+b=0$的根，所以将$x = 1$代入方程得$1 + a + b = 0$，即$a + b=-1$。$a^{2}+2ab+b^{2}=(a + b)^{2}=(-1)^{2}=1$。