【问题导引】总长度为20m的栅栏一面靠墙，围成一个矩形的花圃(图5-1).如果花圃的宽是x m，花圃的面积是y m²，写出y与x之间的函数表达式，并推测x取何值时，花圃的面积最大.
答案：y=-2x²+20x，当x=5时，面积最大
解析：因为栅栏一面靠墙，宽为x m，所以长为(20-2x)m，面积y=x(20-2x)=-2x²+20x。对于二次函数y=-2x²+20x，a=-2＜0，对称轴$x=-\frac{20}{2×(-2)}=5，$所以x=5时面积最大。
解析：因为栅栏一面靠墙，宽为x m，所以长为(20-2x)m，面积y=x(20-2x)=-2x²+20x。对于二次函数y=-2x²+20x，a=-2＜0，对称轴$x=-\frac{20}{2×(-2)}=5，$所以x=5时面积最大。
例1 某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润为y万元，年平均增长率为x，写出y与x之间的函数表达式.
答案：y=20(1+x)²
解析：第一年利润20万元，年增长率x，第二年利润20(1+x)万元，第三年利润20(1+x)²万元，故y=20(1+x)²。
解析：第一年利润20万元，年增长率x，第二年利润20(1+x)万元，第三年利润20(1+x)²万元，故y=20(1+x)²。
例2 已知一条隧道的截面如图5-2所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m.
(1)写出隧道截面的面积y(m²)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；
(2)当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少(精确到0.1m²)?
(1)写出隧道截面的面积y(m²)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；
(2)当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少(精确到0.1m²)?
答案：$(1)y=\frac{1}{2}πx²+5x；$
(2)16.3m²
解析：
(1)半圆面积为$\frac{1}{2}πx²，$矩形另一边长为2x，面积2.5×2x=5x，故$y=\frac{1}{2}πx²+5x。$
(2)当x=2时，$y=\frac{1}{2}π×2²+5×2=2π+10≈2×3.14+10=16.28≈16.3m²。$
(2)16.3m²
解析：
(1)半圆面积为$\frac{1}{2}πx²，$矩形另一边长为2x，面积2.5×2x=5x，故$y=\frac{1}{2}πx²+5x。$
(2)当x=2时，$y=\frac{1}{2}π×2²+5×2=2π+10≈2×3.14+10=16.28≈16.3m²。$
1. 填空题：
(1)若y=(a+3)x²-2x-3是关于x的二次函数，则a满足的条件是__________；
(2)若关于x的二次函数y=(m-1)x²+2x+m²-3的图像经过点(1,0)，则m的值为__________.
(1)若y=(a+3)x²-2x-3是关于x的二次函数，则a满足的条件是__________；
(2)若关于x的二次函数y=(m-1)x²+2x+m²-3的图像经过点(1,0)，则m的值为__________.
答案：
(1)a≠-3；
(2)-2
解析：
(1)二次函数二次项系数不为0，a+3≠0，即a≠-3。
(2)将(1,0)代入得(m-1)+2+m²-3=0，m²+m-2=0，(m+2)(m-1)=0，m=1或m=-2，又m-1≠0，m≠1，故m=-2。
(1)a≠-3；
(2)-2
解析：
(1)二次函数二次项系数不为0，a+3≠0，即a≠-3。
(2)将(1,0)代入得(m-1)+2+m²-3=0，m²+m-2=0，(m+2)(m-1)=0，m=1或m=-2，又m-1≠0，m≠1，故m=-2。
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