选项A：$x - 3 \gt 0$，当$x = 2$时，$2 - 3=-1\lt 0$，不成立，所以该不等式不是对任何有理数都成立。
选项B：$\vert x + 1\vert\gt 0$，当$x=-1$时，$\vert -1 + 1\vert = 0$，不满足$\vert x + 1\vert\gt 0$，所以该不等式不是对任何有理数都成立。
选项C：$(x + 5)^2\gt 0$，当$x = -5$时，$(-5 + 5)^2=0$，不满足$(x + 5)^2\gt 0$，所以该不等式不是对任何有理数都成立。
选项D：因为任何数的平方都为非负数，即$(x - 5)^2\geq0$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-(x - 5)^2\leq0$，对任何有理数$x$都成立。

根据不等式的基本性质，在$a\gt b$的两边同时加$1$，不等号方向不变，即$a + 1\gt b + 1$，所以选项A正确。
在$a\gt b$的两边同时减$1$，不等号方向不变，应得到$a - 1\gt b - 1$，而不是$a - 1\lt b - 1$，所以选项B错误。
在$a\gt b$的两边同时乘以$2$，因为$2\gt0$，不等号方向不变，应得到$2a\gt 2b$，而不是$2a\lt 2b$，所以选项C错误。
在$a\gt b$的两边同时乘以$-2$，因为$-2\lt0$，不等号方向改变，应得到$-2a\lt -2b$，而不是$-2a\gt -2b$，所以选项D错误。

首先解方程$4x - 2m + 1 = 5x - 8$，
将方程中的所有项移到同一边，得到：
$4x - 5x = 2m - 1 - 8$，
合并同类项，得到：
$-x = 2m - 9$，
将$x$的系数化为$1$，得到：
$x = -2m + 9=9 - 2m$，
由题意知，方程的解是非负数，即：
$9 - 2m \geq 0$，
解这个不等式，得到：
$m \leq \frac{9}{2}$，
所以，$m$的取值范围是$m \leq \frac{9}{2}$。

先解不等式 $2x + 5 \lt 4x + 1$，
移项可得 $2x-4x\lt 1 - 5$，
即 $-2x\lt -4$，
两边同时除以$-2$，不等号变向，解得 $x\gt 2$。
再解不等式 $x - k\gt 1$，
移项可得 $x\gt k + 1$。
因为不等式组的解集是 $x\gt 2$，根据同大取大的原则，可得 $k + 1\leqslant 2$，
移项解得 $k\leqslant 1 - 1（即k\leqslant1）$。

命题是判断一件事情的语句。A、B、D都是对事情作出判断的语句，是命题；C“连接A、B两点”是描述一个动作，没有作出判断，不是命题。

根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三边为 $2$、$x$、$13$，且 $x$ 为正整数。
根据三边不等式：
$2 + x ＞ 13 \implies x ＞ 11$，
$2 + 13 ＞ x \implies x ＜ 15$，
$x + 13 ＞ 2$（恒成立，无需考虑）。
综合不等式得：$11 ＜ x ＜ 15$，且 $x$ 为正整数，因此 $x$ 的可能取值为 $12$、$13$、$14$，共 $3$ 个。

设三角形的一个内角为$x$，则与它相邻的外角为$180^{\circ}-x$。由题意得$180^{\circ}-x = x$，解得$x = 90^{\circ}$，所以这个三角形有一个直角，是直角三角形。

设等腰三角形两个角的度数分别为4x和x。
情况1：顶角为4x，底角为x。
由三角形内角和定理：4x + x + x = 180°，解得6x=180°，x=30°，顶角=4x=120°。
情况2：顶角为x，底角为4x。
由三角形内角和定理：x + 4x + 4x = 180°，解得9x=180°，x=20°，顶角=x=20°。
综上，顶角的度数为120°或20°。

A. 若$ \angle A = \angle B = \angle C$，则$ \triangle ABC$的三个内角都相等，每个角为$60°$，因此是等边三角形。
B. 若$AB = AC$，且$ \angle B = 60°$，由于$AB = AC$，则$ \angle C = \angle B = 60°$，所以$ \triangle ABC$是等边三角形。
C. 若$ \angle A = 60°$，$ \angle B = 60°$，则$ \angle C = 60°$，三个内角都等于$60°$，因此是等边三角形。
D. 若$AB = AC$，且$ \angle B = \angle C$，这只能说明$ \triangle ABC$是等腰三角形，并不能直接说明它是等边三角形，因为等腰三角形不一定是等边的。

根据题意，不等式 $(k + 3)x^{|k| - 2} ＞ 0$ 需要是关于 $x$ 的一元一次不等式。
首先，一元一次不等式意味着 $x$ 的指数应为 $1$，即 $|k| - 2 = 1$。
解这个方程，得到 $|k| = 3$，意味着 $k = 3$ 或 $k = -3$。
其次，一元一次不等式的系数 $k + 3$ 不能为$0$，即 $k + 3 \neq 0$。
当$k=3$时，可以满足；当$k=-3$时，$k+3=0$，不满足条件，所以排除。
综上，$k = 3$。

在同一平面内，两条不重合的直线有两种可能的位置关系。第一种是两条直线相交，即它们有且仅有一个公共点；第二种是两条直线不相交，即它们之间没有公共点，这种情况下两条直线被称为平行。因此，在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行。

分两种情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为9，则三边长为4，4，9。因为4+4=8＜9，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不成立。
2. 若腰长为9，底边长为4，则三边长为9，9，4。因为9+4=13＞9，9+9=18＞4，满足三角形三边关系。此时周长为9+9+4=22。
综上，这个等腰三角形的周长为22。

由于两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边相等。
第一个三角形的三边分别为$2$，$5$，$x$，第二个三角形的三边分别为$y$，$2$，$6$。
由于两个三角形全等，所以它们的对应边必须相等。
考虑第一种情况：
$x$对应$6$，$5$对应$y$，$2$对应$2$。
由此可得$x = 6$，$y = 5$。
考虑第二种情况：
$x$对应$6$，$2$对应$y$（由于$2$只能与$2$或$y$相等，而$5$不能与$2$相等，所以这种情况与第一种情况相同，只是$y$和$2$的对应关系调换了，但结果一样）。
或$5$对应$6$（由于$5\neq6$，这种情况不成立）。
所以唯一可能的情况是$x = 6$，$y = 5$。
则$x + y = 6 + 5 = 11$。