1. 下列因式分解正确的是(
A.$x^{3}-x= x(x^{2}-1)$
B.$m^{2}+4m + 4= (m + 2)^{2}$
C.$(a + 4)(a - 4)= a^{2}-16$
D.$x^{2}+y^{2}= (x + y)(x - y)$
B
)A.$x^{3}-x= x(x^{2}-1)$
B.$m^{2}+4m + 4= (m + 2)^{2}$
C.$(a + 4)(a - 4)= a^{2}-16$
D.$x^{2}+y^{2}= (x + y)(x - y)$
答案：B
解析：
A. $x^{3}-x= x(x^{2}-1)=x(x+1)(x-1)$，原式没有完全分解，故错误。
B. $m^{2}+4m + 4= (m + 2)^{2}$，符合完全平方公式，正确。
C. $(a + 4)(a - 4)= a^{2}-16$，这是整式乘法，不是因式分解，故错误。
D. $x^{2}+y^{2}$ 不能分解为 $(x + y)(x - y)$，故错误。
B. $m^{2}+4m + 4= (m + 2)^{2}$，符合完全平方公式，正确。
C. $(a + 4)(a - 4)= a^{2}-16$，这是整式乘法，不是因式分解，故错误。
D. $x^{2}+y^{2}$ 不能分解为 $(x + y)(x - y)$，故错误。
2. 已知多项式 $4x^{2}+1$ 加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可能是(
A.$4x$
B.$-4x$
C.$4x^{4}$
D.$-4x^{4}$
D
)A.$4x$
B.$-4x$
C.$4x^{4}$
D.$-4x^{4}$
答案：D
解析：
对于多项式$4x^2 + 1$，分析各选项：
加$4x$：$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$，是完全平方；
加$-4x$：$4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$，是完全平方；
加$4x^4$：$4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2$，是完全平方；
加$-4x^4$：$-4x^4 + 4x^2 + 1$，其$x^4$项系数为负，无法写成整式的完全平方（完全平方展开式平方项系数非负）。
加$4x$：$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$，是完全平方；
加$-4x$：$4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$，是完全平方；
加$4x^4$：$4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2$，是完全平方；
加$-4x^4$：$-4x^4 + 4x^2 + 1$，其$x^4$项系数为负，无法写成整式的完全平方（完全平方展开式平方项系数非负）。
3. 在边长为 $a$ 的正方形中挖去一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a ＞ b)$(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以得出(
A.$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$
B.$(a - b)^{2}= a^{2}-2ab + b^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
D.$(a + 2b)(a - b)= a^{2}+ab - 2b^{2}$
C
)A.$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$
B.$(a - b)^{2}= a^{2}-2ab + b^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
D.$(a + 2b)(a - b)= a^{2}+ab - 2b^{2}$
答案：C
解析：
原图中，大正方形边长为$a$，面积为$a^2$，
挖去小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，
剩余部分面积为$a^2 - b^2$，
将剩余部分拼成一个矩形，
其长为$a + b$，宽为$a - b$，
矩形面积为$(a + b)(a - b)$，
根据面积相等，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
挖去小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，
剩余部分面积为$a^2 - b^2$，
将剩余部分拼成一个矩形，
其长为$a + b$，宽为$a - b$，
矩形面积为$(a + b)(a - b)$，
根据面积相等，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
4. 对于任意正整数 $n$,$2^{n + 4}-2^{n}$ 均能被(
A.12 整除
B.16 整除
C.30 整除
D.60 整除
C
)A.12 整除
B.16 整除
C.30 整除
D.60 整除
答案：C
解析：
$2^{n + 4} - 2^{n} = 2^{n}(2^{4} - 1) = 2^{n}×15 = 15×2^{n}$，当$n$为正整数时，$2^{n}$至少为$2$，则$15×2^{n} = 30×2^{n - 1}$，所以能被30整除。
5. 已知 $a$,$b$,$c$ 是三角形的三边,那么代数式 $(a - b)^{2}-c^{2}$ 的值(
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.无法确定
B
)A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.无法确定
答案：B
解析：
$\begin{aligned} (a - b)^{2} - c^{2} &= (a - b + c)(a - b - c) \end{aligned}$
由于$a$, $b$, $c$是三角形的三边，根据三角形的性质，有：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$，
$b + c ＞ a$ ，即$a - b - c ＜ 0$，
$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，
即：$(a - b)^{2} - c^{2} ＜ 0$。
由于$a$, $b$, $c$是三角形的三边，根据三角形的性质，有：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$，
$b + c ＞ a$ ，即$a - b - c ＜ 0$，
$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，
即：$(a - b)^{2} - c^{2} ＜ 0$。
6. 若 $a - b = 3$,$ab = 1$,则 $a^{3}b - 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$ 的值为(
A.9
B.4
C.3
D.12
A
)A.9
B.4
C.3
D.12
答案：A
解析：
$\begin{aligned}a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}&=ab(a^{2} - 2ab + b^{2})\\&=ab(a - b)^{2}\\\end{aligned}$
因为 $a - b = 3$，$ab = 1$，所以原式$=1×3^{2}=9$
因为 $a - b = 3$，$ab = 1$，所以原式$=1×3^{2}=9$
7. 已知 $4x^{2}-mx + 9$ 是完全平方式,则 $m$ 的值是(
A.6
B.9
C.$\pm 9$
D.$\pm 12$
D
)A.6
B.9
C.$\pm 9$
D.$\pm 12$
答案：D
解析：
因为$4x^{2}-mx + 9$是完全平方式，可设$4x^{2}-mx + 9=(2x\pm3)^{2}$，将$(2x\pm3)^{2}$展开得$4x^{2}\pm12x + 9$，所以$-m=\pm12$，即$m = \pm 12$。
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