1. 下列说法正确的是(
A.若$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.若$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC$的三边长,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
C.若$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC$的三边长,$\angle A = 90^{\circ}且\angle A的对边长为a$,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
D.若$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC$的三边长,$\angle A = 90^{\circ}且\angle A的对边长为a$,则$b^{2}+c^{2}= a^{2}$
D
)A.若$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.若$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC$的三边长,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
C.若$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC$的三边长,$\angle A = 90^{\circ}且\angle A的对边长为a$,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
D.若$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC$的三边长,$\angle A = 90^{\circ}且\angle A的对边长为a$,则$b^{2}+c^{2}= a^{2}$
答案：D
解析：
A选项：没有说明△ABC是直角三角形，结论不一定成立，错误。
B选项：未明确哪条边是斜边，不能确定$a^2 + b^2 = c^2$，错误。
C选项：若∠A=90°且对边为a，则a应为斜边，此时应为$b^2 + c^2 = a^2$，与选项表述不符，错误。
D选项：若∠A=90°且对边为a，根据勾股定理，$b^2 + c^2 = a^2$，正确。
B选项：未明确哪条边是斜边，不能确定$a^2 + b^2 = c^2$，错误。
C选项：若∠A=90°且对边为a，则a应为斜边，此时应为$b^2 + c^2 = a^2$，与选项表述不符，错误。
D选项：若∠A=90°且对边为a，根据勾股定理，$b^2 + c^2 = a^2$，正确。
2. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 15$,则$AB = $
17
。答案：$17$
解析：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，由于$\angle C=90^{\circ}$，根据勾股定理，直角三角形的斜边$AB$的平方等于两直角边$AC$和$BC$的平方和。
已知$AC = 8$，$BC = 15$，则$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，即$AB^{2}=8^{2}+15^{2}=64 + 225=289$。
因为$AB\gt0$，对$AB^{2}=289$开平方可得$AB = 17$。
已知$AC = 8$，$BC = 15$，则$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，即$AB^{2}=8^{2}+15^{2}=64 + 225=289$。
因为$AB\gt0$，对$AB^{2}=289$开平方可得$AB = 17$。
3. 在$Rt\triangle ABC$中,已知斜边$BC = 3$,则$AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}$的值为
18
。答案：18
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，斜边为$BC$，根据勾股定理得$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$。已知$BC = 3$，则$BC^{2}=9$，所以$AB^{2}+AC^{2}=9$。因此$AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}=9 + 9=18$。
4. 如图,每个四边形都是正方形,字母$A$所代表的正方形的面积为
64
。答案：$64$
解析：
根据勾股定理以及正方形的面积公式，知道面积为$225$的正方形边长是$15$，面积为$289$的正方形边长是$17$，所以字母$A$所代表的正方形面积为$17^{2}-15^{2}=(17 + 15)(17 - 15)=32×2 = 64$（根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这里两个相邻正方形边长分别为直角三角形的两直角边，所求正方形面积为斜边平方与另一直角边平方的差）。
5. 如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是
25
。答案：25
解析：
设中间直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。由图可知，右侧直角三角形中，一直角边为12，斜边为13，根据勾股定理可得另一直角边b²=13²-12²=25，即b²=25。阴影部分为以a、b为边长的两个正方形，其面积和为a²+b²。又因为中间直角三角形中a²+b²=c²，而中间正方形边长为c，面积为c²，所以阴影部分面积=a²+b²=25。
6. 通常来讲,电视机的大小是以屏幕的对角线长度来测量的($1in\approx 2.5cm$)现有一台电视机的屏幕长约$80cm$,宽约$60cm$,则该电视机的大小约是(
A.$40in$
B.$34in$
C.$29in$
D.$25in$
A
)A.$40in$
B.$34in$
C.$29in$
D.$25in$
答案：A
解析：
根据勾股定理，屏幕对角线长度 $d$ 满足 $d^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$，
所以 $d = \sqrt{10000} = 100 cm$。
将厘米转换为英寸：$100 cm ÷ 2.5 cm/in = 40 in$。
所以 $d = \sqrt{10000} = 100 cm$。
将厘米转换为英寸：$100 cm ÷ 2.5 cm/in = 40 in$。
7. 如图,直角三角形三边上的半圆面积分别为$9\pi$,$16\pi和S$,则$S$为(
A.$7\pi$
B.$8\pi$
C.$12\pi$
D.$25\pi$
D
)A.$7\pi$
B.$8\pi$
C.$12\pi$
D.$25\pi$
答案：D
解析：
设直角三角形三边分别为$a$，$b$，$c$（$c$为斜边）。
根据圆的面积公式$S = \frac{1}{2}\pi r^{2}$（这里半圆面积，$r$为对应边一半），
由已知三边上的半圆面积分别为$9\pi$，$16\pi$和$S$。
对于边$a$上的半圆面积$\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=9\pi$，
即$\frac{1}{8}\pi a^{2}=9\pi$，可得$a^{2} = 72$；
对于边$b$上的半圆面积$\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=16\pi$，
即$\frac{1}{8}\pi b^{2}=16\pi$，可得$b^{2}=128$；
对于斜边$c$上的半圆面积$S=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^{2}=\frac{1}{8}\pi c^{2}$。
因为三角形是直角三角形，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
把$a^{2} = 72$，$b^{2}=128$代入可得$c^{2}=72 + 128=200$。
那么$S=\frac{1}{8}\pi c^{2}=\frac{1}{8}\pi×200 = 25\pi$。
根据圆的面积公式$S = \frac{1}{2}\pi r^{2}$（这里半圆面积，$r$为对应边一半），
由已知三边上的半圆面积分别为$9\pi$，$16\pi$和$S$。
对于边$a$上的半圆面积$\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=9\pi$，
即$\frac{1}{8}\pi a^{2}=9\pi$，可得$a^{2} = 72$；
对于边$b$上的半圆面积$\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=16\pi$，
即$\frac{1}{8}\pi b^{2}=16\pi$，可得$b^{2}=128$；
对于斜边$c$上的半圆面积$S=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^{2}=\frac{1}{8}\pi c^{2}$。
因为三角形是直角三角形，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
把$a^{2} = 72$，$b^{2}=128$代入可得$c^{2}=72 + 128=200$。
那么$S=\frac{1}{8}\pi c^{2}=\frac{1}{8}\pi×200 = 25\pi$。
8. (沈阳浑南区期末如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,正方形$A$,$B$,$C$,$D的面积之和是100cm^{2}$,则最大的正方形的边长为
10
$cm$。答案：10
解析：
设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，面积分别为Sₐ=a²，Sᵦ=b²，Sₙ=c²，Sₐ=d²。由图可知，A、B所在直角三角形的斜边对应的正方形面积为Sₐ+Sᵦ；C、D所在直角三角形的斜边对应的正方形面积为Sₙ+Sₐ。这两个正方形的边长又构成最大正方形的两条直角边，故最大正方形面积为(Sₐ+Sᵦ)+(Sₙ+Sₐ)=100cm²，所以最大正方形边长为√100=10cm。
9. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle D = \angle ACB = 90^{\circ}$,$CD = 9$,$AD = 12$,$BC = 8$,则$AB$的长为
17
。答案：17
解析：
在Rt△ADC中，∠D=90°，AD=12，CD=9，由勾股定理得AC²=AD²+CD²=12²+9²=144+81=225，∴AC=15。在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=15，BC=8，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=15²+8²=225+64=289，∴AB=17。
10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AC + BC = 5$,$S_{\triangle ABC}= \frac{3}{2}$,则$AB^{2}$的值是
19
。答案：19
解析：
设$AC = a$，$BC = b$，$AB = c$。
∵$\triangle ABC$是直角三角形，$∠C = 90°$，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{3}{2}$，即$ab = 3$。
又∵$AC + BC = 5$，即$a + b = 5$。
∴$AB^2 = c^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$。
∵$\triangle ABC$是直角三角形，$∠C = 90°$，
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{3}{2}$，即$ab = 3$。
又∵$AC + BC = 5$，即$a + b = 5$。
∴$AB^2 = c^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$。
11. 如图,长方形E的长是宽的2倍,图中所有阴影四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,已知正方形A,B,C的面积依次为5,23,10,则正方形D的面积为
82
。答案：82
解析：
设长方形E的宽为x，则长为2x。
∵正方形A、B的面积分别为5、23，且以A、B的边长为直角边和斜边构成直角三角形（直角边为A的边长和长方形E的宽x），
∴由勾股定理得：$5 + x^2 = 23$，解得$x^2 = 18$。
∴长方形E的长为$2x$，其平方为$(2x)^2 = 4x^2 = 4×18 = 72$。
∵正方形C的面积为10，且以C的边长和长方形E的长为直角边、D的边长为斜边构成直角三角形，
∴由勾股定理得：$10 + 72 = S_D$，即$S_D = 82$。
∵正方形A、B的面积分别为5、23，且以A、B的边长为直角边和斜边构成直角三角形（直角边为A的边长和长方形E的宽x），
∴由勾股定理得：$5 + x^2 = 23$，解得$x^2 = 18$。
∴长方形E的长为$2x$，其平方为$(2x)^2 = 4x^2 = 4×18 = 72$。
∵正方形C的面积为10，且以C的边长和长方形E的长为直角边、D的边长为斜边构成直角三角形，
∴由勾股定理得：$10 + 72 = S_D$，即$S_D = 82$。
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