在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
因为以$AC$、$BC$、$AB$为边的正方形面积分别为$225$、$400$、$S$，所以$AC^{2}=225$，$BC^{2}=400$，$AB^{2}=S$。
则$S=AC^{2}+BC^{2}=225 + 400=625$。

在直角三角形$ \triangle ABC $中，根据勾股定理，有$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $，
代入已知值$ AB = 41 $和$ BC = 9 $，得到：
$41^2 = AC^2 + 9^2 $，
$1681 = AC^2 + 81 $，
$AC^2 = 1681 - 81 $，
$AC^2 = 1600 $，
$AC = \sqrt{1600} $，
$AC = 40 $。

在$\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，$AB=2$，$BC=4$，根据勾股定理可得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=2^{2}+4^{2}=4 + 16=20$。
因为四边形$ADEC$是正方形，正方形的面积等于边长的平方，正方形$ADEC$的边长为$AC$，所以正方形$ADEC$的面积$S = AC^{2}=20$。

设较短的直角边为 $3x$，则较长的直角边为 $4x$。
根据勾股定理，可得：
$(3x)^2 + (4x)^2 = 10^2$，
$9x^2 + 16x^2 = 100$，
$25x^2 = 100$，
$x^2 = 4$，
$x = 2$（$x$取正值，因为边长为正数）。
所以较短的直角边为 $3x = 3 × 2 = 6$。

(1) 根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。设另一条直角边长为 $x$，则有：
$6^2 + x^2 = 6.5^2$，
$36 + x^2 = 42.25$，
$x^2 = 6.25$，
$x = 2.5$（因为边长不能为负，所以只取正值）。
(2) 设 $AB = x$，则 $BC = x - 1$。
根据勾股定理，有：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
$7^2 + (x - 1)^2 = x^2$，
$49 + x^2 - 2x + 1 = x^2$，
$50 - 2x = 0$，
$x = 25$。

设直角三角形三边分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），以$a$、$b$、$c$为直径的半圆面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$。
由半圆面积公式得：$S_1=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{8}$，同理$S_2=\frac{\pi b^2}{8}$，$S_3=\frac{\pi c^2}{8}$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，两边乘$\frac{\pi}{8}$得$\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8}=\frac{\pi c^2}{8}$，即$S_1 + S_2 = S_3$。
已知$S_1=18\pi$，$S_3=50\pi$，则$S_2 = S_3 - S_1 = 50\pi - 18\pi = 32\pi$。