Question

19．质量为 300g、高 10cm 的木块放在底面积 100cm²的足够深的容器中，下端用 10cm 的细绳与容器底部相连（g=10N/kg，ρ木=0.6×10³kg/m³，绳子重力不计）． 求：
（1）向杯中注入多少 ml 的水，细线刚好拉直．
（2）继续注水直到木块完全浸没在水中，如图所示，求绳子的拉力．
（3）剪断绳子，容器中水对容器底部的压强会怎样变化？变化多少？

Answer 1

分析 （1）当细线刚好拉直时，此时木块受到的浮力等于其重力，据此列出等式可求得木块排开水的体积，然后可求得木块浸入水的深度，已知细绳为10cm，容器的底面积已知，根据V=Sh可求得水的体积．
（2）根据密度公式变形可求得木块的体积，继续注水直到木块完全浸没在水中，${V}_{排}^{′}$=V_木，此时浮力等于物体的重力加上拉力，据此可求得绳子的拉力；
（3）由于木块的密度小于水的密度，所以剪断绳子后木块将上浮，此时容器中水的液面下降，木块漂浮时所受的浮力等于它自身的重力，可得浮力的大小，根据阿基米德原理求排开水的体积，可求排开水的体积变化，知道容器底面积，可求水深的变化量，再利用液体压强公式求容器底所受压强改变量．

解答 解：（1）当细线刚好拉直时，此时木块受到的浮力等于其重力，如图所示：

此时F_浮=G=m_木g=ρ_木 gV_木，
由F_浮=G_排，可得，
即ρ_水gV _排=ρ_木 gV_木，
ρ_水S_木h_浸=ρ_木S_木h_木，
则h_浸=$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$•h_木=$\frac{0.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$×0.1m=0.06m=6cm；
则水的深度h=h_浸+h_细绳=6cm+10cm=16cm=0.16m，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，
木块的体积V_木=$\frac{{m}_{木}}{{ρ}_{木}}$=$\frac{0.3kg}{0.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=0.5×10^-3m³，
木块的面积S_木=$\frac{{V}_{木}}{{h}_{木}}$=$\frac{0.5×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.1m}$=5×10^-3m²，
则水的体积V_水=S_容h-V_排=1×10^-2m²×0.16m-5×10^-3m²×0.06m=1.3×10^-3m³=1300cm³=1300ml；
（2）继续注水直到木块完全浸没在水中，${V}_{排}^{′}$=V_木=0.5×10^-3m³，
此时物体的受力情况如图所示：

${F}_{浮}^{′}$=G+F，
即ρ_水gV_木=mg+F，
则F=ρ_水gV_木-mg=1×10³kg/m³×10N/kg×0.5×10^-3m³-0.3kg×10N/kg=2N，
（3）由于木块的密度小于水的密度，所以剪断绳子后木块将上浮，此时水面将下降，由p=ρgh可知，容器中水对容器底部的压强会减小；
静止时木块将漂浮，漂浮时，
F_浮″=G_木=mg=0.3kg×10N/kg=3N，
F_浮″=ρ_水gV_排′，
则V_排′=$\frac{{F}_{浮}^{″}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{3N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3×10^-4m³，
△V_排=0.5×10^-3m³-3×10^-4m³=2×10^-4m³，
水深变化：△h=$\frac{{△}_{排}}{{S}_{容}}$=$\frac{2×1{0}^{-4}{m}^{3}}{1×1{0}^{-2}{m}^{3}}$=0.02m，
则变化的压强△p=ρ_水g△h=1×10³kg/m³×10N/kg×0.02m=200Pa．
答：（1）向杯中注入多少 1300ml 的水，细线刚好拉直．
（2）继续注水直到木块完全浸没在水中，绳子的拉力为2N．
（3）剪断绳子，容器中水对容器底部的压强会减小，变化量为200Pa．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对重力公式、密度公式、液体压强公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件、力的合成的掌握和运用，能求出水深变化是本题的关键．