Question

1．如图1所示，置于水平地面的薄壁容器上面部分为正方体形状，边长l₁=4cm，下面部分也为正方体形状，边长l₂=6cm，容器总质量m₁=50g，容器内用细线悬挂的物体为不吸水的实心长方体，底面积S_物=9cm²，下表面与容器底面距离l₃=2cm，上表面与容器口距离l₄=1cm，物体质量m₂=56.7g．现往容器内加水，设水的质量为M，已知ρ_水=1.0×10³kg/m³，g=10N/kg．

（1）当M=58g时，水面还没有到达物体的下表面，求此时容器对水平地面的压强；
（2）当M=194g时，求水对容器底部的压力；
（3）当0≤M≤180g时，求出水对容器底部的压力F随M变化的关系式，并在图2中作出F-M图象．

Answer 1

分析 （1）当水面还没有到达物体的下表面时，此时水可看做是柱体，此时容器对水平地面的压力等于M和容器的总重力，再根据p=$\frac{F}{S}$可求此时容器对水平地面的压强．
（2）首先求出物体m₂的密度，再根据ρ=$\frac{m}{V}$求出水的体积，再根据题意判断物体是否完全漂浮，再求出水的深度，根据p=ρgh求出水对容器底的压强，再根据p=$\frac{F}{S}$求出水对容器底部的压力．
（3）根据公式p=ρgh求出当水面恰好达到物体下表面时，水对容器底的压力，即水的重力；
再求出注入180g水时，水面的深度，根据F=pS=ρghS求出水对容器底的压力．再画出图象．

解答 解：（1）当M=58g时，水面还没有到达物体的下表面，此时水可看做是柱体，
此时容器对水平地面的压力F=G=（M+m₁）g=（0.058kg+0.05kg）×10N/kg=1.08N，
容器的底面积S₁=6cm×6cm=36cm²=3.6×10^-3m²，
此时容器对水平地面的压强p=$\frac{F}{{S}_{1}}$=$\frac{1.08N}{3.6×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=300Pa；
（2）物体高度h=（4cm+6cm）-1cm-2cm=7cm，
物体体积V=Sh=9cm²×7cm=63cm³，
物体密度ρ=$\frac{{m}_{2}}{V}$=$\frac{56.7g}{63c{m}^{3}}$=0.9g/cm³=0.9×10³kg/m³，小于水的密度，物体在水里应处于漂浮状态；
由ρ=$\frac{m}{V}$得：
注入水的体积V=$\frac{m}{ρ}$=$\frac{194g}{1g/c{m}^{3}}$=194cm³，
容器下方正方体能够注水的体积：V_下=6cm×6cm×6cm-9cm²×（6cm-2cm）=180cm³，
所以容器中上方正方体中水的体积V_上=V-V_下=194cm³-180cm³=14cm³，
容器中上方正方体中水的深度h′=$\frac{{V}_{上}}{{S}_{上}-{S}_{物}}$=$\frac{14c{m}^{3}}{4cm×4cm-9c{m}^{2}}$=2cm，
物体浸入水中的深度h″=（6cm-2cm）+2cm=6cm，
如果物体完全漂浮，F_浮=G，即ρ_水gV_排=ρgV，所以$\frac{{V}_{排}}{V}$=$\frac{ρ}{{ρ}_{水}}$=$\frac{0.9g/c{m}^{3}}{1g/c{m}^{3}}$=$\frac{9}{10}$=$\frac{{h}_{浸}}{h}$=$\frac{{h}_{浸}}{7cm}$，
解得h_浸=6.3cm，所以物体不会完全漂浮起来，
容器中的水深h_水=h_下+h′=6cm+2cm=8cm，
水对容器底的压强p=ρ_水gh_水=1×10³kg/cm³×10N/kg×0.08m=800Pa，
由p=$\frac{F}{S}$得：
水对容器底的压力F=pS₁=800Pa×3.6×10^-3m²=2.88N；
（3）当水面恰好达到物体下表面时，水的体积V=6cm×6cm×2cm=72cm³，
水的质量m=ρV=1×10³kg/m³×7.2×10^-5m³=7.2×10^-2kg，
当水的质量0g＜M≤72g时，液体对容器底的压力等于水的重力F=G=mg=7.2×10^-2kg×10N/kg=72×10^-2N，是一个正比例函数，做出图象；
当注入180cm3的水时，根据上面第二问中的计算可知，此时恰好把下面的正方体注满水，此时水的深度为6cm，
此时水对容器底的压力F′=pS=ρghS=1×10³kg/m³×10N/kg×0.06m×3.6×10^-3m²=216×10^-2N．
当水的质量72g＜M≤180g时，关系式F′=pS=ρghS=ρgh（S_水+S_物）=m_水+ρghS_物，它是一个一次函数，图象是一条直线．
故图如下所示：

答：（1）容器对水平地面的压强300Pa；
（2）水对容器底部的压力2.88N；
（3）如上图．

点评 此题主要考查的是学生对密度、压强、重力、浮力计算公式的理解和掌握，弄清楚物体在水中所占的体积是解决此题的关键，特别是第三问要分段讨论，找出关系式有一定难度，此题难度很大．