Question

测定患者的血沉，是医学上用来帮助医生对病情作出正确判断的一种手段．把新鲜的血液，加入抗凝剂，静置一定时间后形成抗凝血后，红血球即从血浆中分离出来而下沉．设抗凝血是由红血球和血浆组成的悬浮液，血浆的密度ρ₀≈1.0×10³kg/m³，红血球的密度ρ≈1.3×10³kg/m³．将抗凝血放进竖直放置的血沉管内（抗凝血的注入点与血浆液面齐平），红血球起初在血浆中加速下沉，然后一直匀速下沉，其匀速下沉的速度称为“血沉”．正常人血沉的值大约是v_r=12mm/h．如果把红血球近似看作半径为R的小球，它在血浆中下沉时所受的粘滞阻力为f=6πηRV，在室温下η=1.8×10^-3Pa?s，已知V_球=

4

3

πR³，试根据以上信息解答下列问题：
（1）红血球在血浆中为什么先加速下沉、后一直匀速下沉？
（2）请画出红血球在血浆中由静止自由下落时的v-t图象．
（3）推导出红血球半径的表达式，并计算出它的大小．

Answer 1

分析：（1）先对红血球进行受力分析，然后比较红血球受到竖直向上和竖直向下合力的大小确定红血球的运动状态；
（2）根据红血球在血浆中先加速下沉、后一直匀速下沉做出红血球在血浆中由静止自由下落时的v-t图象；
（3）先表示出红血球受到的浮力和重力，然后根据红血球在血浆中匀速下沉时，受到平衡力作用的等价关系，化简得出R的表达式，然后将已知条件代入式中即可求得．

解答：解：（1）红血球在血浆中下沉时受力情况如图所示：

红血球由静止开始下沉时，速度很小，根据f=6πηRv可知，所受的粘滞阻力也非常小，由于血浆的密度ρ₀小于红血球的密度ρ，红血球受到的浮力小于重力，所以刚开始f+F_浮＜G，合力向下，红血球会加速下沉；随着红血球下沉速度变大，粘滞阻力增大，当f+F_浮=G时，合力为零，红血球就会匀速下沉．
（2）红血球在血浆中先加速下沉、后一直匀速下沉，则由静止自由下落时的v-t图象如下图所示：

（3）当红血球在血浆中匀速下沉时，受力平衡，所以f+F_浮=G，
F_浮=ρ₀V_排g=ρ₀

4

3

πR³g=

4

3

πρ₀gR³，
G=mg=ρV_排g=ρ

4

3

πR³g=

4

3

πρgR³，
∵f=6πηRv
∴6πηRv+

4

3

πρ₀gR³=

4

3

πρgR³
即R=

9ηv  2(ρ-ρ0)g

已知：g=10N/kg，η=1.8×10^-3Pa﹒s，v=12mm/h=

1

3

×10^-5m/s，ρ₀≈1.0×10³kg/m³，ρ≈1.3×10³kg/m^3_，
代入上式得：
R=

9×1.8×10-3× 1 3 ×10-5 2×(1.3×103-1.0×103)×10

=3×10^-6m．
答：（1）红血球由静止开始下沉时，速度很小，根据f=6πηRv可知，所受的粘滞阻力也非常小，由于血浆的密度ρ₀小于红血球的密度ρ，红血球受到的浮力小于重力，所以刚开始f+F_浮＜G，合力向下，红血球会加速下沉；随着红血球下沉速度变大，粘滞阻力增大，当f+F_浮=G时，合力为零，红血球就会匀速下沉；
（2）红血球在血浆中由静止自由下落时的v-t图象如上图所示；
（3）红血球半径的表达式为R=

9ηvr 2(ρ-ρ0)g

，它的大小为3×10^-6m．

点评：本题综合考查重力计算公式、浮力计算公式以及二力平衡条件的应用，重点是能够正确分析出红血球的受力情况是解答本题的关键．