Question

11．一支地质勘查队在深山中的一条小溪边发现了一小块矿石，为了对矿石进行初步鉴定，需测出它的密度．但手头只有一根粗细均匀的直木棒，皮卷尺，细线，量筒．请你根据现有情况，设计一个实验方案，帮他们测出矿石密度．写出实验步骤及矿石密度的表达式．（可画简图加以说明）

Answer 1

分析 要测矿石的密度，没有天平和量筒，实验器材只有直木棍、皮尺、细线，可以利用杠杠平衡条件进行测量；
用直木棍作杠杠，要测的矿石挂在一端，另一端挂一块石头，使杠杠水平平衡，测量动力臂l₁和阻力臂l₂，根据杠杠平衡条件列出等式；
把要测量的矿石浸没在水中，移动石头，使杠杠重新水平平衡，测量阻力臂l₃，根据杠杠平衡条件列出等式；
两个等式组成方程组，解得矿石的密度．

解答 解：实验方案：
（1）用细线悬挂直木棍作支点；
（2）用细线拴好矿石挂在支点左侧，在支点的右侧挂一块石头，移动矿石和石块悬挂的位置直到木棍水平平衡；
（3）用皮尺分别量出悬挂矿石和石块的点到支点的距离为l₁，l₂．如图1所示．
（4）将矿石浸没在水中，移动挂石块的位置直到木棍再次水平平衡；
（5）用皮尺量出悬挂石块的点到支点的距离为l₃．如图2所示．
矿石密度的表达式：
根据杠杠平衡条件：由图1得，G_矿l₁=G_石l₂--①
由图2得，（G_矿-F_浮）l₁=G_石l₃--②
由$\frac{①}{②}$得，$\frac{{G}_{矿}}{{G}_{矿}-{F}_{浮}}=\frac{{l}_{2}}{{l}_{3}}$
矿石浸没在水中，所以，$\frac{{ρ}_{矿}g{V}_{矿}}{{ρ}_{矿}g{V}_{矿}-{ρ}_{水}g{V}_{矿}}=\frac{{l}_{2}}{{l}_{3}}$，
解得：ρ_矿=$\frac{{l}_{2}{ρ}_{水}}{{l}_{2}-{l}_{3}}$．

点评 对于杠杠平衡条件的问题，一般有几次杠杠平衡，根据杠杠平衡条件列几个等式，进行求解，利用数学知识，是一道比较难的题目．