Question

15．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）平抛运动水平方向上做匀速运动，在竖方向做自由落体运动，根据平抛运动的规律求星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度的大小等于近星面运行的速度．根据万有引力提供的向心力求出第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：
tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$，
所以，g=$\frac{2{v}_{0}tana}{t}$．
（2）因为万有引力等于重力，所以G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
则该星球的质量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根据万有引力提供向心力得：G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
该星球的第一宙速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G\frac{g{R}^{2}}{G}}{R}}$=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtana}{t}}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度g=$\frac{2{v}_{0}tana}{t}$．
（2）该星球的第一宇宙速度 v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtana}{t}}$．

点评 解决本题的关键是掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个结论，并能灵活运用．