题目内容

4．如图所示，边长为0.2米的正方体甲和底面积为0.03米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.4米，内盛有0.3米深的水．正方体甲的密度为5×103千克/米3．
求：
（1）甲的质量；
（2）水对乙容器底部的压强；
（3）把一个底面积为0.02米2，高0.3米圆柱体A（已知ρ水＞ρA）先后放置在正方体甲上和乙容器的水中，甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等，求A物体的质量．

分析 （1）已知正方体甲的边长可求体积，又知道正方体甲的密度，根据m=ρV求出甲的质量；
（2）已知水的深度，利用公式p=ρgh求出水对乙容器底部的压强；
（3）水平面上物体的压力和自身的重力，根据p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$表示出甲对地面压强的增加量，由ρ水＞ρA可知圆柱体A在乙容器中处于漂浮状态，受到的浮力和自身的重力相等，根据F浮=ρgV排表示出物体A排开水的体积，设水未溢出，根据体积公式表示出水面上升的高度，利用p=ρgh表示出水对乙容器底部的压强增加量，利用甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等得出等式，然后判断出乙中水应溢出，再求出水面上升的高度，利用甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等得出等式即可求出物体A的质量．

解答 解：（1）正方体甲的体积：
V甲=（0.2m）3=8×10-3m3，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，甲物体的质量：
m甲=ρ甲V甲=5×103kg/m3×8×10-3m3=40kg；
（2）水对乙容器底部的压强：
p水=ρ水gh=1.0×103kg/m3×9.8N/kg×0.3m=2940Pa；
（3）因水平面上物体的压力和自身的重力相等，
所以，圆柱体A放置在正方体甲上时，甲对地面压强的增加量：
△p甲=$\frac{△{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$，
因ρ水＞ρA，
所以，圆柱体A放置在乙容器的水中时，处于漂浮状态，受到的浮力和自身的重力相等，
由F浮=ρgV排可得，物体A排开水的体积：
V排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{G}_{A}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}}$，
若水未溢出，水面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}（{S}_{乙}-{S}_{A}）}$，
水对乙容器底部的压强增加量：
△p水=ρ水g△h=ρ水g×$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{水}（{S}_{乙}-{S}_{A}）}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$，
因甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等，
所以，$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}-{S}_{A}}$，
则S甲=S乙-SA=0.03m2-0.02m2≠（0.2m）2=0.04m2，
故乙容器内水有溢出，水面上升的高度：
△h′=h容-h水=0.4m-0.3m=0.1m，
由△p甲=△p水可得：
$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{甲}}$=ρ水g△h′，
即mA=ρ水S甲△h′=1.0×103kg/m3×0.04m2×0.1m=4kg．
答：（1）甲的质量为40kg；
（2）水对乙容器底部的压强为2940Pa；
（3）A物体的质量为4kg．

点评 本题考查了密度公式和液体压强公式、固体压强公式的应用，关键是会判断圆柱体A放入乙容器中时水是否溢出，要注意水平面上物体的压力和自身的重力相等．

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