Question

3．某人站在离湖岸边6m的C处，刚好能看见湖对岸的一棵树HG在水中的完整的像，如果眼距地面的高度为1.5m，湖两岸均高出湖水面2m，湖宽40m．则该树HG的高度为6m．

Answer 1

分析 平面镜成像的特点是：像和物大小相等，像到镜面的距离等于物体到镜面的距离，像为虚像．根据平面镜成的特点就可以作出GH经水面反射后射入人眼的光路图．再根据相似三角形的性质解答

解答 解：首先作出G、H两点关于水面的对称点G'、H'，即GH的虚像；然后把人眼和H'连接起来作出反射光线，如图所示：

根据对顶角相等可知，∠BOA′=∠AOH′，因此Rt△AOH′∽Rt△BOA′，
所以$\frac{A{H}^{′}}{{A}^{′}B}$=$\frac{OA}{O{A}^{′}}$，而从题可知，A′B=2m，OA′=40m-OA，
即$\frac{A{H}^{′}}{2m}$=$\frac{OA}{40m-OA}$①式；
根据同位角相等可知，∠BOA′=∠DBC，而∠BOA′=∠AOH′，因此∠DBC=∠AOH′，所以Rt△AOH′∽Rt△DBC′，
所以$\frac{A{H}^{′}}{CD}$=$\frac{OA}{BC}$，而从题可知，CD=1.5m，BC=6m，
即$\frac{A{H}^{′}}{1.5m}$=$\frac{OA}{6m}$②式；
由②式可得：OA=4AH′③式，
把③式代入①式可得：$\frac{A{H}^{′}}{2m}$=$\frac{4A{H}^{′}}{40m-4A{H}^{′}}$
，解得：AH′=8m，而AG′=2m，
所以G′H′=AH′-AG′=8m-2m=6m，
即该树HG的高度为6m；
故答案为：6．

点评 解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．解答此题还可用连接BG，根据Rt△BGH′∽Rt△BCD，解得G′H′=6m．