Question

11．在实际生活中电池本身是有电阻的，因此，实际的电池可以等效为一个理想电源（电压U恒定，电阻为0）与一个电阻r的串联（图甲所示）．在如图乙所示电路中，合上开关S，变阻器的滑片从A端滑到B端的过程中，请你完成：
（1）推导出滑动变阻器的功率P_R跟电流表示数I之间关系的数学表达式；
（2）若滑动变阻器的最大值为R₀且R₀＞r，利用（1）推导出的表达式在图丙中定性画出P_R-I图象．要求写出分析过程．

Answer 1

分析 （1）由图滑动变阻器与电池内阻串联，根据欧姆定律计算出电池内阻两端的电压，根据串联电路的电压特点求出滑动变阻器两端的电压，根据P=UI表示出滑动变阻器消耗的电功率；
（2）根据P_R与I的表达式求出的最大值的坐标，画出图象．

解答 解：（1）由图滑动变阻器R与电池内阻r串联，设电路中电流为I，
由I=$\frac{U}{R}$可得，电池内阻两端电压：
U_r=Ir，
因串联电路中总电压等于各分电压之和，
所以，R两端电压：
U_R=U-U_r=U-Ir，
则滑动变阻器的功率：
P_R=U_RI=（U-Ir）I=UI-I²r；
（2）由（1）P_R=UI-I²r=-rI²+UI
此表达式看成P_R与I的二次函数，二次项系数为-r，所以P_R有最大值，
当I=-$\frac{U}{2×（-r）}$=$\frac{U}{2r}$时，即R=r时，P_R有最大值，
最大值P_R=$\frac{4×（-r）×0-{U}^{2}}{4×（-r）}$=$\frac{{U}^{2}}{4r}$．
当R最大时，总电阻最大，电流中电流最小，I_最小=$\frac{U}{R+r}$，
此时R的功率：P_R′=I_最小²R=（$\frac{U}{R+r}$）²×R=$\frac{{U}^{2}R}{（R+r）^{2}}$，
图象如图所示：
．
答：（1）滑动变阻器的电功率P_R与电流表示数I之间关系的表达式为P_R=UI-I²r； 
（2）图象及分析过程见上．

点评 本题考查串联电路特点、欧姆定律和电功率公式应用，关键是公式的推导，这就要求我们利用好二次函数，有一定难度．