Question

5．圆柱形容器内放入一个体积为200cm³的长方体，现不断往容器内注水，并记录水的总体积V和水所对应的深度h，V和h的对应关系如图所示，求：

（1）长方体的底面积S₁为多少？
（2）长方体受到的最大浮力为多少？
（3）长方体的密度为多少？

Answer 1

分析 由图2可知，0～15cm的过程中水的总体积和对应的深度成正比；15cm～21cm的过程中水的总体积和对应的深度成正比；0～21cm的过程中水的总体积和对应的深度不成之比，则h=15cm后物体漂浮．
（1）15cm～21cm的过程中，由△V=S₂△h求出容器的底面积；0～15cm的过程中，根据△V=（S₂-S₁）△h求出长方体的底面积；
（2）h=15cm时，物体恰好漂浮，受到的浮力最大，根据V=Sh求出物体排开水的体积，根据阿基米德原理求出长方体受到的最大浮力；
（3）长方体漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，根据G=mg求出长方体的质量，根据ρ=$\frac{m}{V}$求出长方体的密度．

解答 解：由图2可知，0～15cm的过程中水的总体积和对应的深度成正比；
15cm～21cm的过程中水的总体积和对应的深度成正比；
0～21cm的过程中水的总体积和对应的深度不成之比，则h=15cm后物体漂浮．
（1）15cm～21cm的过程中，由△V=S₂△h可得，容器的底面积：
S₂=$\frac{△V}{△h}$=$\frac{300c{m}^{3}-180c{m}^{3}}{21cm-15cm}$=20cm²，
0～15cm的过程中，由△V=（S₂-S₁）△h可得，长方体的底面积：
S₁=S₂-$\frac{△V′}{△h′}$=20cm³-$\frac{180c{m}^{3}}{15cm}$=8cm²；
（2）h=15cm时，物体恰好漂浮，物体排开水的体积：
V_排=S₁h=8cm²×15cm=120cm³=1.2×10^-4m³，
长方体受到的最大浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.2×10^-4m³=1.2N；
（3）长方体漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，
所以，长方体的重力：
G=F_浮=1.2N，
由G=mg可得，长方体的质量：
m=$\frac{G}{g}$=$\frac{1.2N}{10N/kg}$=0.12kg，
长方体的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{0.12kg}{200×1{0}^{-4}{m}^{3}}$=0.6×10³kg/m³．
答：（1）长方体的底面积S₁为8cm²；
（2）长方体受到的最大浮力为1.2N；
（3）长方体的密度为0.6×10³kg/m³．

点评 本题考查了阿基米德原理和物体浮沉条件以及密度公式的应用，从图象中判断出物体漂浮是解题的关键．