Question

19．如图所示，电源电压保持不变．只闭合S₁时，电路中电流为I₁，R₁的功率为P₁，R₃的功率为4W；只闭合S₂时，电路中电流为I₂，R₃的功率为P₂．若P₁：P₂=4：9，I₁：I₂=2：3．求：
（l）电阻R₂和R₃之比．
（2）开关S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗的总功率．

Answer 1

分析 （1）只闭合S₁时R₁与R₃串联，只闭合S₂时R₂与R₃串联，知道两种情况下的电流之比，根据电压一定时电流与电阻成反比得出三电阻之间的关系，根据P=I²R表示出P₁：P₂=4：9，然后联立等式得出三电阻之间的关系；
（2）开关S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁与R₂并联，根据电阻的并联表示出电路中的总电阻，根据电压一定时电流与电阻成反比求出图1和图3中的电流之比，根据串联电路的特点和P=I²R求出图1中的总功率，利用P=UI求出图1和图3的总功率之比，进一步得出答案．

解答 解：只闭合S₁时，等效电路图如图1所示；只闭合S₂时，等效电路图如图2所示；

因电压一定时，电流与电阻成反比，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{2}+{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{2}{3}$，
整理可得：
3R₂+R₃=2R₁-------①
由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{1}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{3}}$=（$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$）²×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{4}{9}$，
解得：
R₁=R₃，即R₁：R₃=1：1，
代入①可得：R₁=R₃=3R₂，即R₂：R₃=1：3；
（2）开关S₁、S₂、S₃都闭合时，等效电路图如图3所示：

因并联电路中总电阻的倒数等于各分电阻倒数之和，
所以，电路中的总电阻：
R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}×\frac{1}{3}{R}_{1}}{{R}_{1}+\frac{1}{3}{R}_{1}}$=$\frac{{R}_{1}}{4}$，
因电压一定时，电流与电阻成反比，
所以，图1和图3中的电流之比：
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{3}}$=$\frac{R}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=$\frac{\frac{{R}_{1}}{4}}{{R}_{1}+{R}_{1}}$=$\frac{1}{8}$，
图1中，因串联电路中各处的电流相等，
所以，由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{1总}}{{P}_{3}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}（{R}_{1}+{R}_{3}）}{{{I}_{1}}^{2}{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{1}}{{R}_{1}}$=2，
即P_1总=2P₃=2×4W=8W，
图1和图3的总功率之比：
$\frac{{P}_{1总}}{{P}_{2总}}$=$\frac{U{I}_{1}}{U{I}_{3}}$=$\frac{{I}_{1}}{{I}_{3}}$=$\frac{1}{8}$，
则图3中的总功率：
P_3总=8P_1总=8×8W=64W．
答：（1）电阻R₂和R₃之比为1：3．
（2）开关S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗的总功率为64W．

点评 本题考查了串联电路和并联电路的特点以及欧姆定律的应用，利用比值法解决问题时要注意各量之间的关系，不要颠倒．