Question

19．电源两端电压不变，小灯泡L灯丝电阻保持不变．当开关S₁、S₂、S₃都闭合，滑动变阻器的滑片P滑至B端时，小灯泡恰好正常发光，电流表的示数为I₁，电压表的示数为U₁；当只闭合开关S₁，滑动变阻器的滑片P滑至AB中点时，小灯泡消耗的功率为额定功率的$\frac{1}{4}$，电流表的示数为I₂；当只闭合开关S₂时，电流表的示数为I₃，电压表的示数为U₃，电阻R₁的电功率P₁为2W，已知：U₁：U₃=3：1，I₁：I₂=7：1．
请画出该题的各个等效电路图．
求：（1）电阻R₁与R₂之比；
（2）小灯泡的额定功率P_额．

Answer 1

分析 先画出三种情况的等效电路图：
（1）由甲图可知电源的电压和U₁相等，根据串联电路的电流特点和欧姆定律表示出图丙中R₂与R₁两端的电压结合U₁：U₃=3：1即可得出R₁与R₂之比；
（2）根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$分别表示出图甲和图乙中灯泡的电功率结合小灯泡消耗的功率为额定功率的$\frac{1}{4}$得出图乙中灯泡两端的电压与电源电压之间的比值，再根据串联电路的电流特点和欧姆定律得出灯泡与滑动变阻器最大阻值之间的关系，根据电阻的并联得出图甲中的总电阻，根据电阻的串联特点和欧姆定律表示出图甲和图乙中的电源，利用电源的电压不变得出等式结合电流关系即可求出灯泡电阻与R₂之间的关系，进一步得出灯泡电阻与R₁之间的关系，利用电阻的串联和欧姆定律求出图丙中R₁两端的电压，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出电阻R₁的电功率结合灯泡电阻与R₁之间的关系即可求出灯泡的额定功率．

解答 解：当开关S₁、S₂、S₃都闭合，滑动变阻器的滑片P滑至B端时，等效电路图如图甲所示；
当只闭合开关S₁，滑动变阻器的滑片P滑至AB中点时，等效电路图如图乙所示；
当只闭合开关S₂时，等效电路图如图丙所示．

（1）由甲图可知：U=U₁，
在丙图中：
串联电路总各处的电流相等，
根据欧姆定律可得：$\frac{{U}_{3}}{{U}_{1}}$=$\frac{I{R}_{2}}{I（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{2}{1}$；
（2）图甲和图乙中：
由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知：$\frac{{P}_{额}}{{P}_{L}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}}{\frac{{U}_{L}^{2}}{{R}_{L}}}$=（$\frac{U}{{U}_{L}}$）²=$\frac{4}{1}$，
解得：$\frac{U}{{U}_{L}}$=$\frac{2}{1}$，
图乙中：
串联电路总各处的电流相等，
$\frac{{U}_{L}}{U}$=$\frac{{I}_{2}{R}_{L}}{{I}_{2}×（{R}_{L}+\frac{1}{2}{R}_{ab}）}$=$\frac{1}{2}$，
解得：R_ab=2R_L，
图甲中：
并联电路中总电阻的倒数等于各分电阻倒数之和，
电路中的总电阻：R_并=$\frac{{R}_{L}{R}_{2}}{{R}_{L}+{R}_{2}}$
电源的电压不变，
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{L}+\frac{1}{2}{R}_{ab}}{\frac{{R}_{L}{R}_{2}}{{R}_{L}+{R}_{2}}}$=$\frac{{R}_{L}+\frac{1}{2}×2{R}_{L}}{\frac{{R}_{L}{R}_{2}}{{R}_{L}+{R}_{2}}}$=$\frac{7}{1}$，
解得：$\frac{{R}_{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{2}{5}$，R₁=2R₂=2×$\frac{2}{5}$R_L=$\frac{4}{5}$R_L，
图丙中：$\frac{{U}_{1}′}{U}$=$\frac{{I}_{3}{R}_{1}}{{I}_{3}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，则U₁′=$\frac{2}{3}$U，
电阻R₁的电功率：P₁=$\frac{（\frac{2}{3}U）^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{（\frac{2}{3}U）^{2}}{\frac{4}{5}{R}_{L}}$=$\frac{5}{9}$×$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$=2W，
灯泡的额定功率：P_额=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{9}{5}$×2W=3.6W．
答：（1）电阻R₁与R₂之比为2：1；
（2）小灯泡的额定功率为3.6W．

点评 本题考查了串联电路的特点和并联电路的特点以及欧姆定律、电功率公式的灵活应用，关键是画出三种情况的等效电路图和知道灯泡正常发光时的电压与额定电压相等，难点是根据电压关系和功率关系得出各电阻之间的关系．