Question

11．如图甲所示是液压汽车起重机从水中打捞重物的示意图，A是动滑轮，B是定滑轮，C是卷扬机，D是油缸，E是柱塞．通过卷扬机转动使钢丝绳带动A上升，被打捞重物的体积是V=0.6m³．若在打捞前起重机对地面的压强p₁=9×10⁶Pa，当物体在水中匀速上升时起重机对地面的压强为p₂=1.2×10⁷Pa，重物完全出水后匀速上升时起重机对地面的压强p₃=1.3×10⁷Pa．假设起重时E沿竖直方向，重物出水前、后E对吊臂的支撑力分别为N₁和N₂，重物出水前滑轮组的机械效率为90%，吊臂、定滑轮、钢丝绳的重以及轮与绳的摩擦不计．（g取10N/kg）求：
（1）重物受到的浮力；
（2）动滑轮的重力；
（3）支撑力N₁和N₂之比．

Answer 1

分析 （1）知道物体的体积（浸没水中排开水的体积），利用阿基米德原理求物体受到水的浮力；
（2）知道起重机对地面的压强，利用压强公式求的车重关系式；知道物体在水中匀速上升时起重机对地面的压强，此时对地面的压力等于车重加上物重减去浮力，可得压力关系式；知道重物完全出水后匀速上升时起重机对地面的压强，此时对地面的压力等于车重加上物重，可得压力关系式；三个关系式联立方程组求出物体重，知道机械效率，利用$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{{G}_{物}-{F}_{浮}}{{G}_{物}-{F}_{浮}+{G}_{动}}$求动滑轮重；
（3）由杠杆平衡条件，对重物在水中匀速上升时、重物完全出水后匀速上升时列出关于支撑力的方程，求出支撑力N₁和N₂之比．

解答 解：
（1）重物受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gV=1×10³kg/m³×10N/kg×0.6m³=6×10³N；
（2）打捞前起重机对地面的压力等于车的重力，根据p=$\frac{F}{S}$可得：
G_车=F₁=p₁S=9×10⁶Pa×S，-------------①
物体在水中匀速上升时，起重机对地面的压力等于车与物体的总重力减去浮力，
即G_车+G_物-F_浮=F₂=p₂S，
代入数据有：G_车+G_物-6×10³N=1.2×10⁷Pa×S，--------------②
重物完全出水后匀速上升时，起重机对地面的压力等于车与物体的总重力：
即G_车+G_物=F₃=p₃S=1.3×10⁷Pa×S，--------------③
由①②③解得：G_物=2.4×10⁴N，
吊臂、定滑轮、钢丝绳的重以及轮与绳的摩擦不计，动滑轮对物体的拉力做的功为有用功，克服动滑轮重力做的功为额外功，则重物出水前滑轮组的机械效率：
η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{{G}_{物}-{F}_{浮}}{{G}_{物}-{F}_{浮}+{G}_{动}}$，
即：90%=$\frac{2.4×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N}{2.4×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N+{G}_{动}}$，
解得：G_动=2×10³N；
（2）重物出水前、后吊臂的受力情况如下图所示：

分析可知，物体在水中匀速上升时起，B端受到拉力等于物体与动滑轮的总重力减去物体所受浮力；
重物完全出水后匀速上升时，B端受到拉力等于物体与动滑轮的总重力；
由杠杆平衡条件可得：
N₁L₁=（G_物-F_浮+G_动）L₂----------④
N₂L₁′=（G_物+G_动）L₂′------------⑤
且根据几何知识可得：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}=\frac{{L}_{1}′}{{L}_{2}′}=\frac{OF}{OB}$--------⑥
则$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{{G}_{物}-{F}_{浮}+{G}_{动}}{{G}_{物}+{G}_{动}}$=$\frac{2.4×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N+2×1{0}^{3}N}{2.4×1{0}^{4}N+2×1{0}^{3}N}$=$\frac{10}{13}$．
答：（1）重物受到的浮力为6×10³N；
（2）动滑轮的重力为2×10³N；
（3）支撑力N₁和N₂之比为10：13．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对速阿基米德原理、杠杆的平衡条件、压强公式、功率公式、效率公式的掌握和运用，知识点多、综合性强，要求灵活运用所学知识．