Question

12．建筑工人使用如图所示装置，将质量分布均匀的长方体水泥板M吊起后放入水中．工人通过控制电动机A、电动机B，始终保持水泥板M所受拉力竖直向上．当电动机A对绳的拉力为零时，电动机A对地面的压强为p₀；当水泥板M一端被竖直滑轮组拉起，另一端仍停在地面上，且水泥板M与水平地面成某角度时，电动机A对地面的压强为p₁；当水泥板M被竖直滑轮组拉离地面时，电动机A对地面的压强为p₂；当将水泥板M被悬挂着浸没在水中时，电动机A对地面的压强为p₃．已知：水泥板M的体积V_M为0.1m³，△p₁=|p₁-p₀|=5250Pa，△p₂=|p₂-p₀|=10250Pa，△p₃=|p₃-p₀|=5250Pa，不计绳重和轴摩擦．（g取10N/kg）求：
（1）竖直滑轮组中动滑轮的总重力G_动；
（2）水泥板M所受重力G_M；
（3）竖直滑轮组提拉水泥板M将其立起的过程中机械效率η．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）设电动机A的底面积为S，当水泥板M未拉离地面时，水泥板M可看做以未离地端为支点的杠杆，其所受重力和悬挂端拉力如图1甲所示，动滑轮受力分析如图1乙所示，电动机A受力分析如图1丙所示．可得：T₁=$\frac{{G}_{M}}{2}$、4F₁=G_动+T₁、F₁=G_A-N₁=N₀-N₁=S•△p₁；
当水泥板M拉离地面尚未入水时，水泥板M受力分析如图2甲所示，动滑轮受力分析如图2乙所示，电动机A受力分析如图2丙所示，可得T₂=G_M、4F₂=G_动+T₂、F₂=G_A-N₂=N₀-N₂=S•△p₂；
当水泥板M完全浸没在水中时，水泥板M受力分析如图3甲所示，动滑轮受力分析如图3乙所示，电动机A受力分析如图3丙所示，可得：T₃=G_M-F_浮、4F₃=G_动+T₃、F₃=G_A-N₃=N₀-N₃=S•△p₃，
知道水泥板的体积，利用阿基米德原理求水泥板浸没在水中时受浮力，
以上联立求得电动机A的底面积、F₁、F₂、F₃，进而求出动滑轮重；
（2）根据T₂=G_M、4F₂=G_动+T₂求水泥板M所受重力；
（3）求出T₁，利用效率公式求竖直滑轮组提拉水泥板M将其立起的过程中机械效率．

解答 解：（1）设电动机A的底面积为S，G_A=S×p₀=N₀，
当水泥板M未拉离地面时，对水泥板M、动滑轮、电动机A受力分析如图所示：

T₁=$\frac{{G}_{M}}{2}$，----------①
4F₁=G_动+T₁----------②
F₁=G_A-N₁=N₀-N₁=S•△p₁----------③
当水泥板M拉离地面尚未入水时，水泥板M受力分析如图2甲所示，动滑轮受力分析如图2乙所示，电动机A受力分析如图2丙所示；

T₂=G_M----------④
4F₂=G_动+T₂----------⑤
F₂=G_A-N₂=N₀-N₂=S•△p₂----------⑥
当水泥板M完全浸没在水中时，水泥板M受力分析如图3甲所示，动滑轮受力分析如图3乙所示，电动机A受力分析如图3丙所示；

T₃=G_M-F_浮----------⑦
4F₃=G_动+T₃----------⑧
F₃=G_A-N₃=N₀-N₃=S•△p₃----------⑨
水泥板M浸没在水中时所受浮力：
F_浮=ρ_水gV_M=1×10³kg/m³×0.1m³×10N/kg=1×10³N，
由⑥式-⑨式：F₂-F₃=S（△p₂-△p₃），
⑤式-⑧式：4（F₂-F₃）=T₂-T₃，
④式-⑦式，T₂-T₃=F_浮，
解得：
4 S（△p₂-△p₃）=F_浮，
4S×（10250Pa-5250Pa）=1×10³N
所以S=0.05m²，
F₁=S△p₁=0.05m²×5250Pa=$\frac{525}{2}$N，
F₂=S•△p₂=0.05m²×10250Pa=$\frac{1025}{2}$N，
F₃=S△p₃=0.05m²×5250Pa=$\frac{525}{2}$N，
由①②得：
4F₁=G_动+$\frac{{G}_{M}}{2}$，
4×$\frac{525}{2}$N=G_动+$\frac{{G}_{M}}{2}$，
2100N=2G_动+G_M，------（10）
由④⑤得：4F₂=G_动+G_M，
4×$\frac{1025}{2}$N=G_动+G_M，
2050N=G_动+G_M，---------（11）
（10）式-（11）式得：G_动=50N，
（2）G_M=4F₂-G_动=2050N-50N=2000N，
（3）T₁=$\frac{{G}_{M}}{2}$=$\frac{2000N}{2}$=1000N；
η=$\frac{{W}_{有用1}}{{W}_{总1}}$=$\frac{{T}_{1}h}{（{G}_{动}+{T}_{1}）h}$=$\frac{{T}_{1}}{{G}_{动}+{T}_{1}}$=$\frac{1000N}{50N+1000}$≈95%．
答：（1）竖直滑轮组中动滑轮的总重力为50N；
（2）水泥板M所受重力为2000N；
（3）竖直滑轮组提拉水泥板M将其立起的过程中机械效率为95%．

点评 本题为力学综合题，考查了重力公式、压强公式、阿基米德原理、使用滑轮组拉力的计算，知识点多、综合性强，能画出受力示意图帮助分析是解题的关键．