Question

11．如图所示，是利用器械提升重物的示意图．当某人自由站在水平地面上时，他对地面的压强P₀=2×10⁴Pa；当滑轮下未挂重物时，他用力匀速举起杠杆的A端，使杠杆在水平位置平衡时，他对地面的压强P₁=2.375×10⁴Pa；当滑轮下加挂重物G后，他用力匀速举起杠杆的A端，使杠杆在水平位置平衡时，他对地面的压强P₂=5.75×10⁴Pa．假设这个人用的力和绳端B用的力始终沿竖直方向，加挂重物前后他对杠杆A端施加的举力分别为F₁、F₂，已知F₂=1500N．（杠杆、绳重和机械间摩擦忽略不计，g取10N/kg）
求：（1）人与地面接触面积S的大小？
（2）当重物G被匀速提升过程中，滑轮组的机械效率η？
（3）已知重物G的密度与水的密度比为9：1，将重物完全浸没在水中匀速上升时的速度为0.1m/s，若此时已知动滑轮重为100N，那么绳端B的拉力F′做功的功率P′为多大？

Answer 1

分析 （1）知道两次用力时对地面的压强，分别列方程式求出当滑轮下未挂重物时，他对杠杆A端施加的举力分别为F₁、人的重力和受力面积（与地的接触面积）；
（2）当滑轮下未挂重物时，他用力F₁匀速举起杠杆的A端时所做的功为利用这个机械时的额外功，当滑轮下加挂重物G后，他用力F₂匀速举起杠杆的A端所做的功为总功，根据机械效率的公式即可求整个滑轮组的机械效率η；
（3）根据滑轮下未挂重物时，动滑轮重力为100N，利用杠杆平衡求出力臂OA与OB的关系，再根据当加挂重物后他对杠杆A端施加的举力为F₂，由杠杆平衡条件得出重物的重力，然后当将重物完全浸没在水中，根据重物受力情况求出对动滑轮的拉力G′，最后利用P=Fv即可求功率．

解答 解：（1）人站在水平面上，因而人的重力：G_人=F_压=P₀S
当滑轮下加挂重物G后，他用力匀速举起杠杆的A端，使杠杆在水平位置平衡时，则人对地面的压力
F₂+G_人=P₂S，
F₂+P₀S=P₂S，即：1500N=（5.75×10⁴Pa-2×10⁴Pa）S
可得人与地面接触面积：S=0.04m²
（2）当滑轮下未挂重物时，他用力匀速举起杠杆的A端，使杠杆在水平位置平衡时，假设人使杠杆A端上升高度h，则F₁做的功为W₁=F₁h，这时，因没有提升任何物体，所的功为额外功，
当滑轮下未挂重物时，他用力匀速举起杠杆的A端，使杠杆在水平位置平衡时，则人对地面的压力
F₁+G_人=P₁S
F₁=P₁S-P₀S=（2.375×10⁴Pa-2×10⁴Pa）×0.04m²=150N
当滑轮下加挂重物G后，他用力匀速举起杠杆的A端，使杠杆在水平位置平衡时，假设人使杠杆A端上升高度h，则F₂做的总功为W₂=F₂h，
故滑轮组的机械效率η=$\frac{{W}_{2}-{W}_{1}}{{W}_{2}}$=$\frac{1500N×h-150N×h}{1500N×h}$×100%=90%；
（3）当滑轮下未挂重物时，杠杆平衡，F₁=150N，
右边的滑轮部分，因未挂重物，动滑轮重力为100N，则B端绳子的作用力F_B′=$\frac{1}{2}$G_动=$\frac{1}{2}$×100N=50N，
根据杠杆平衡条件知：F₁OA=F_B′OB，
$\frac{OA}{OB}$=$\frac{F{'}_{B}}{{F}_{1}}$=$\frac{50N}{150N}$=$\frac{1}{3}$，
当加挂重物后他对杠杆A端施加的举力为F₂，B端绳子的作用力为F_B″=$\frac{1}{2}$（G+G动），则由杠杆平衡条件得：
F₂OA=F_B″OB，即：F₂OA=$\frac{1}{2}$（G+G动）OB，
G=2F₂×$\frac{OA}{OB}$-G_动=2×1500N×$\frac{1}{3}$-100N=900N，
当将重物完全浸没在水中，重物对动滑轮的拉力
G′=G-F_浮=G-ρ_水gV_物=G-ρ_水g$\frac{G}{{ρ}_{物}g}$=G（1-$\frac{{ρ}_{水}}{{ρ}_{物}}$）=900N×（1-$\frac{1}{9}$）=800N，
所以，绳端B的拉力F′=$\frac{1}{2}$（G′+G_动）=$\frac{1}{2}$×（800N+100N）=450N，速度为v_B=2v=2×0.1m/s=0.2m/s，
功率P′=F′v_B=450N×0.2m/s=90W．
答：（1）人与地面接触面积S的大小为0.04m²；
（2）当重物G被匀速提升过程中，滑轮组的机械效率为90%；
（3）已知重物G的密度与水的密度比为9：1，将重物完全浸没在水中匀速上升时的速度为0.1m/s，若此时已知动滑轮重为100N，那么绳端B的拉力F′做功的功率P′为90W．

点评 本题考查压强的计算，注意分析出压强变化的原因，即可解答本题的杠杆A端的拉力和人的重力，正确理解在滑轮下未挂重物时，他用力匀速举起杠杆的A端所的功为整个机械的额外功，其实在杠杆、绳重和机械间摩擦忽略不计时，这个额外功就是对动滑轮所做的功，综合性强，难度太大．