Question

13．间距为l的两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图 所示．倾角为θ的导轨处于大小为B₁方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间I中． 水平导轨上的无磁场区间静止放置-质量为3m的“联动双杆”（由两根长为l的金属杆cd 和ef用长度为L的刚性绝缘杆连接构成），在“联动双杆”右侧存在大小为B2、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间II，其长度大于L．质量为m、长为l的金属杆ab从倾斜导 轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨（无能量损失），杆以与“联动双杆”发生碰撞，碰后杆ab和cd合在一起形成“联动三杆'．“联动三杆”继续沿水平导轨进人磁场区间II并从 中滑出．运动过程中，杆ab、cd和ef与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直． 已知杆ab、cd和ef 电阻均为R=0.02Ω，m=0.1kg，l=0.5m，L=0.3m，θ=30°，B₁=0.1T，B₂=0.2T．不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应．求

（1）杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度v₀；
（2）“联动三杆”进人磁场区间II前的速度大小v₁；
（3）“联动三杆”滑过磁场区间II产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）ab杆在倾斜轨道上做匀速直线运动，由平衡条件可以求出其速度；
（2）ab杆与联动双杆碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出其速度；
（3）应用动量定理与能量守恒定律可以求出联动三杆产生的焦耳热．

解答 解：（1）ab杆受到的安培力：F=B₁Il=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R+\frac{R}{2}}$，
ab杆匀速运动，由平衡条件得，重力沿导轨向下的分力与安排力相等，
即：mgsinθ=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R+\frac{R}{2}}$，
解得：v₀=6m/s．
（2）ab杆与联动双杆碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=（m+3m）v，
解得：v=1.5m/s．
（3）联动三杆进入磁场B₂过程速度的变化量为△v，
由动量定理得：B₂$\overline{I}$l△t=4m△v，
$\overline{I}$△t=△q=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R+\frac{R}{2}}$，
解得：△v=0.25m/s，
联动三杆离开磁场过程，速度的变化量大小也为：△v=0.25m/s，
离开磁场B₂时联动三杆的速度：v′=v-2△v=1.5-2×0.25=1m/s，
“联动三杆”滑过磁场区间II产生的焦耳热：Q=$\frac{1}{2}$•4mv²-$\frac{1}{2}$•4mv′²，
解得：Q=0.25J．
答：（1）杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小v₀为6m/s；
（2）“联动三杆”进入磁场区间II前的速度大小v为1.5m/s；
（3）“联动三杆”滑过磁场区间II产生的焦耳热Q为0.25J．

点评 本题是一道综合题，分析清楚杆的运动过程是解题的前提与关键，应用安培力公式、平衡条件、动量守恒定律与能量守恒定律可以解题；解题时注意分析清楚电路结构，难度较大，解题时应细心、认真．