Question

17．足够高的薄壁圆柱形容器放在水平地面上，底面积为2×10^-3米²，盛有质量为0.4千克的水．将一横截面积为4×10^-4米²的圆柱形玻璃管，装入一定量的水后竖直放入容器中，玻璃管处于漂浮状态，如图（a）所示．
（1）求容器内水的体积V_水．
（2）求容器中离水面0.1米深处的液体压强p．
（3）再将一实心均匀物块浸没在玻璃管的水中后，玻璃管仍旧漂浮在水面上，如图（b）所示．若物块投入前后，管内的水对玻璃管底部压强的变化量是△p₁，容器内的水对容器底部压强的变化量是△p₂，已知△p₁=2△p₂，求物块的密度ρ_物．

Answer 1

分析 （1）已知容器内水的质量，根据密度公式变形可得容器内水的体积；
（2）利用液体压强公式求出容器中离水面0.1米深处的液体压强；
（3）物块投入玻璃管的水中后，物块沉底，利用体积公式求出玻璃管中水面上升的高度，利用液体压强公式表示出管内的水对玻璃管底部压强的变化量△p₁；物块投入后，玻璃管仍旧漂浮在水面上，则容器内的水对容器底部增大的压力等于物重，利用重力公式表示出容器内的水对容器底部压力的变化量，利用压强定义式表示出△p₂；已知△p₁=2△p₂，据此建立方程求解．

解答 解：
（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，容器内水的体积：
V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{0.4kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=4×10^-4m³；
（2）容器中离水面0.1米深处的液体压强：
p_水=ρ_水gh_水=1.0×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa；
（3）设物块的体积为V_物，其密度为ρ_物，
物块投入玻璃管的水中后，物块沉底，则玻璃管中水面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{物}}{{S}_{管}}$；
则管内的水对玻璃管底部压强的变化量为：
△p₁=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{{V}_{物}}{{S}_{管}}$；
因为将一实心均匀物块浸没在玻璃管的水中后，玻璃管仍旧漂浮在水面上，
所以，容器内的水对容器底部增大的压力：
△F=G_物=ρ_物V_物g，
则容器内的水对容器底部压强的变化量：
△p₂=$\frac{△F}{{S}_{容}}$=$\frac{{ρ}_{物}{V}_{物}g}{{S}_{容}}$，
已知△p₁=2△p₂，
所以有：ρ_水g$\frac{{V}_{物}}{{S}_{管}}$=2×$\frac{{ρ}_{物}{V}_{物}g}{{S}_{容}}$，
整理可得：
ρ_物=$\frac{{S}_{容}}{2{S}_{管}}$•ρ_水=$\frac{2×1{0}^{-3}{m}^{2}}{2×4×1{0}^{-4}{m}^{2}}$×1.0×10³kg/m³=2.5×10³kg/m³．
答：（1）容器内水的体积V_水为4×10^-4m³；
（2）容器中离水面0.1米深处的液体压强p为980Pa；
（3）物块的密度ρ_物为2.5×10³kg/m³．

点评 本题考查了密度公式、液体压强公式和压强定义式的综合运用，能够表示出两种情况下液体压强变化量是解答此题的关键，本题难度较大．