Question

14．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式，其中一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．已知每个星体的质量均为m，星体之间的距离为l，引力常量为G．求：
（1）其中一颗星所受合力；
（2）星体运动的周期．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力定律列式求解任意两个星体间的引力大小；
（2）合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解周期．

解答 解：（1）根据万有引力定律，任意两个星体间的引力大小为：F=G$\frac{{M}^{2}}{{L}^{2}}$；
每个星体的合力为：F_合=2Fcos30°=$\frac{\sqrt{3}G{M}^{2}}{{L}^{2}}$，
（2）星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，
故：F_合=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，其中有几何知识：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$；
解得：T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$．
答：（1）其中一颗星所受合力为$\frac{\sqrt{3}G{M}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）星体运动的周期T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$．

点评 本题考查了根据万有引力求合力和周期，是一道难题．