Question

18．如图所示，用同种铝合金制成质量相等的金属盒和实心球各一个，把球放在盒内密封后它们恰好能悬浮在水中，如图甲所示；若把球用线吊在盒子下面放进水中，静止时，金属盒露出水面的部分为总体积的$\frac{1}{6}$，此时的拉力为20N，如图乙所示．（g取10N/kg）求：
（1）铝合金的密度；
（2）乙图中剪断线，金属盒静止时，露出水面的体积与总体积之比．

Answer 1

分析 （1）首先选图甲中盒与球整体 作为研究对象，两者之间相互作用力为内力，对于整体只受浮力和重力，甲乙两种情况，一次悬浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gV_排，即两次排开水的体积相同，据此可得V_球；
由甲乙两种情况，根据阿基米德原理和浮沉条件即可求出铝合金的密度；
（2）对甲乙两图，分别对盒和球、金属球进行受力分析，根据受力平衡即可求出盒的体积，根据漂浮条件和阿基米德原理即可求出若剪断细绳盒静止时浸入水的体积，然后求出露出水面的体积，然后可知露出水面的体积与总体积之比．

解答 解：（1）设金属盒的体积为V_盒，金属球的体积为V_球，二者的质量为：m（二者质量相等），
甲乙两种情况，一次悬浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gV_排，即两次排开水的体积相同，可得：
V_盒=（1-$\frac{1}{6}$）V_盒+V_球，所以V_球=$\frac{1}{6}$V_盒；
而F_浮=G，即：ρ_水gV_排=2mg，
则ρ_水gV_盒=2ρ_铝gV_球，
所以有：ρ_铝=3ρ_水=3×10³kg/m³；
（2）对甲乙两种情况，进行受力分析：
金属盒悬浮时有：2mg=ρ_水gV_排，（V_盒=V_排），
金属球悬在金属盒下面时：对金属盒进行受力分析有mg+20N=ρ_水g（1-$\frac{1}{6}$）V_盒；
对金属球进行受力分析有：mg=20N+ρ_水gV_球
解之：V_盒=6×10^-3m³，m=3kg，V_球=1×10^-3m³；
当绳子剪断后，金属盒处于漂浮，G=F_浮′，即：mg=ρ_水gV_排1
所以，V_排1=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10^-3m³；
所以，露出液面的体积：V_露=V_盒-V_排1=6×10^-3m³-3×10^-3m³=3×10^-3m³；
则金属盒静止时，露出水面的体积与总体积之比：$\frac{{V}_{露}}{{V}_{总}}$=$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{6×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=$\frac{1}{2}$．
答：（1）铝合金的密度为3×10³kg/m³；
（2）乙图中剪断线，金属盒静止时，露出水面的体积与总体积之比为1：2．

点评 此题为一道难度较大的推理计算题，解决此类问题的方法为：①选定的研究对象并进行受力分析（最好画出受力分析图）．②设定未知量一般为选项或题目所求物理量．③把两个物体视作整体，即整体法 列一个方程．④再将两个物体分别作为研究对象，即隔离法 再列两个方程．