Question

13．作家巴勒斯的科幻小说《火星公主》被改编成电影《异星战场》．影片描写了地球人卡特来到火星，为救火星公主征战火星的故事．由于火星和地球对物体的引力不同，使得卡特在火星上英勇无敌，成为火星战神．科学知识告诉我们，对每个星球来讲，下列公式成立：R²g=KM，这一关系式被称为“黄金变换”．其中：R为星球的半径，g为星球的引力常数（已知g_地=10N/kg），M为星球的质量，K=6.67×10^-11N•m²/kg²．
（1）火星的半径是地球的一半，密度是地球的九分之八．请问，卡特站立在火星上对火星表面的压强与站立在地球上对地面的压强之比是4：9（提示：球体体积公式：V_球=$\frac{4}{3}$πR³）；
（2）若不计空气阻力，人们跳远的最远距离s与星球的g成反比，与起跳速度v₀的关系如图象所示．下列四个关于s的表达式中只有一个是正确的，你选择C；
A．s=gv₀²      B．s=$\frac{{V}_{0}}{g}$      C．s=$\frac{{{V}_{0}}^{2}}{g}$      D．s=gv₀
（3）不计空气阻力，如果卡特在地球上最远可以跳8.95m（世界跳远纪录），则他在火星上以相同的速度起跳，最远可以跳20.1375m．

Answer 1

分析 （1）卡特站立在火星上和站立在地球上的受力面积相同，由p=$\frac{F}{S}$可得，卡特站立在火星上对火星表面的压强与站立在地球上对地面的压强之比等于压力之比；压力大小等于星球的引力．
（2）从图形中可以看出，该图象为正比例函数；根据题意和正比例函数即可得出三者之间的关系．
（3）由（1）的解题过程可得，$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{4}{9}$，再结合s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$即可求出在火星上跳得的最远距离．

解答 解：（1）$\frac{{p}_{火}}{{p}_{地}}$=$\frac{{F}_{火}}{{F}_{地}}$=$\frac{{G}_{火}}{{G}_{地}}$=$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{{W}_{火}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{火}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{火}{v}_{火}{R}_{地}^{2}}{{ρ}_{地}{v}_{地}{R}_{火}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{火}{R}_{火}}{{ρ}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{8×1}{9×2}$=$\frac{4}{9}$；
（2）因为该图象为正比例函数，即人们跳远的最远距离s与起跳速度v₀的平方成正比，又因为与星球的g成反比，因此三者的关系为：s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，故C正确；
（3）因为$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{4}{9}$，s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，
所以$\frac{{s}_{火}}{{s}_{地}}$=$\frac{{g}_{地}}{{g}_{火}}$=$\frac{9}{4}$，
故s_火=$\frac{9}{4}$×8.95m=20.1375m．
故答案为：（1）4：9；（2）C；（3）20.1375．

点评 此题涉及到球的体积，压强公式的应用等多个知识点，难度较大，而且计算过程非常繁琐，稍一疏忽，就有可能出错，从而导致整个题错误，因此解答此题不仅要细心，而且要有耐心．