题目内容

14．A、B、C是由密度为ρ=3.0×103kg/m3的某种合金制成的三个实心球，A球的质量mA=90g；甲和乙是两个完全相同的木块，其质量m甲=m乙=340g；若把B和C挂在轻质杠杆两端，平衡时如图1所示，其中MO：ON=3：1．若用细线把球和木块系住，放入底面积为400cm2的圆柱形容器中，在水中静止时如图2所示．在图2中，甲有一半体积露出水面，乙浸没水中（水的密度为1.0×103kg/m3，g取10N/kg，杠杆、滑轮与细线的质量以及它们之间的摩擦忽略不计）．
（1）求A球体积和甲木块的体积、密度？
（2）求B和C的质量各为多少Kg？
（3）若将A球与甲相连的细线以及B球与乙相连的细线都剪断，甲和乙重新静止后，水对容器底部的压强变化了多少？

分析 （1）知道A求的质量和密度，根据ρ=$\frac{m}{V}$求出A球的体积，把甲木块和A求出看作整体、整体漂浮，根据漂浮条件得出等式即可求出甲木块的体积，根据ρ=$\frac{m}{V}$求出甲球的密度；
（2）根据杠杆平衡条件结合动滑轮的特点列出关系式；根据图2，将乙、B、C看做一个整体，根据悬浮时浮力与重力相等，列出关系式；将两个关系式联立并代入已知条件便可求出；
（3）将A球与甲相连的细线剪断，A沉底，甲上浮后漂浮，水面下降，根据物体浮沉条件和阿基米德原理求出甲木块排开水的体积，然后求出甲引起水体积的变化量，将B球与乙相连的细线剪断，B、C沉底，乙先上浮后漂浮，水面下降，此时乙排开水的体积与甲相同，进一步求出乙引起水体积的变化量，根据V=Sh求出水面下降的高度，根据p=ρgh求出水对容器底部的压强变化量．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，A球的体积：
VA=$\frac{{m}_{A}}{ρ}$=$\frac{90×1{0}^{-3}kg}{3.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10-5m3，
因甲木块与A球整体漂浮，
所以，G甲+GA=F浮总，
即m甲g+mAg=ρ水g（0.5V甲+VA）
则V甲=2（$\frac{{m}_{甲}+{m}_{A}}{{ρ}_{水}}$-VA）=2（$\frac{0.34kg+0.09kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$-3×10-5m3）=8×10-4m3，
甲球的密度：
ρ甲=$\frac{{m}_{甲}}{{V}_{甲}}$=$\frac{0.34kg}{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}$=0.425×103kg/m3；
（2）由图1知，杠杆平衡条件：
2mBg•ON=mCg•OM，
因MO：ON=3：1
所以，mB=$\frac{OM}{2ON}$mC=1.5mC，
由图2知，乙、B、C悬浮在水中，将乙、B、C看做一个整体，则：
ρ水g（V乙+VB+VC）=G乙+GB+GC
即：1.0×103kg/m3×10N/kg×（8.0×10-4m3+$\frac{{m}_{B}}{ρ}$+$\frac{{m}_{C}}{ρ}$）=3.4N+mB×10N/kg+mC×10N/kg
则：1.0×103kg/m3×（8.0×10-4m3+$\frac{1.5{m}_{C}}{3×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$+$\frac{{m}_{C}}{3×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$）=0.34kg+1.5mC+mC
解得：mC=0.276kg，
mB=1.5mC=1.5×0.276kg=0.414kg；
（3）将A球与甲相连的细线剪断，A沉底，甲上浮后漂浮，水面下降，
因甲木块漂浮，
所以，G甲=F浮甲，
即m甲g=ρ水gV排甲
则V排甲=$\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{340g}{1.0g/c{m}^{3}}$=340cm3=3.4×10-4m3，
甲引起水体积的变化量：
△V甲=$\frac{1}{2}$V甲-V排甲=$\frac{1}{2}$×8×10-4m3-3.4×10-4m3=6×10-5m3，
将B球与乙相连的细线剪断，B、C沉底，乙先上浮后漂浮，水面下降，此时乙排开水的体积与甲相同，
则乙引起水体积的变化量：
△V乙=V乙-V排乙=V甲-V排甲=8×10-4m3-3.4×10-4m3=4.6×10-4m3，
容器内水下降的体积：
△V=△V甲+△V乙=6×10-5m3+4.6×10-4m3=5.2×10-4m3，
容器内水下降的深度：
△h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{5.2×1{0}^{-4}{m}^{3}}{400×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.013m，
水对容器底部的压强变化量：
p=ρ水g△h=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.013m=130Pa．
答：（1）A球体积为3×10-5m3，甲木块的体积为8×10-4m3、密度为0.425×103kg/m3；
（2）B和C的质量依次为0.414kg、0.276kg；
（3）若将A球与甲相连的细线以及B球与乙相连的细线都剪断，甲和乙重新静止后，水对容器底部的压强变化了130Pa．

点评 本题考查了杠杆平衡条件的应用及浮力公式的应用，解决此题的关键是掌握杠杆平衡条件，将图2中的物体作为一个整体，根据浮力和重力相等的关系列出关系式，同时涉及到了密度的知识．

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