Question

8．如图所示的电路中，电源两端的电压U₀保持不变，灯泡L的规格为“12V 18W”，不考虑温度对灯泡电阻的影响，电流表的量程为0～3A．当只闭合开关S、S₁时，将滑动变阻器的滑片移至中点，电压表V的示数为U₁，电路总功率为P₁；然后将滑片移至最右端，电压表V的示数为U₁'，电路总功率为P₁'；当只闭合开关S、S₁、S₂时，电路消耗的总功率为P₂；当只闭合开关S、S₁、S₃时，灯泡正常发光，电路消耗的总功率为P₃．已知U₁：U₁'=7：8，P₁：P₁'=3：2．
（1）求灯泡的电阻R_L；
（2）P₂与P₃的比值；
（3）若只闭合开关S、S₂和S₃，在保证电路安全的前提下，求电路的总功率达到最小和最大两种情况下，滑动变阻器的功率P₄与P₄'之比．

Answer 1

分析 （1）根据R=$\frac{{U}^{2}}{P}$求灯的电阻；
（2）根据当只闭合开关S、S₁时，将滑动变阻器的滑片移至中点，然后将滑片移至最右端时两种状态下电压表示数之比和电路总功率之比结合欧姆定律求出R₂的阻值大小；再根据电压不变时，通过的电流与电阻成反比求出R₁的值；
分别作出当只闭合开关S、S₁、S₂时；当只闭合开关S、S₁、S₃时的电路图，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出两种状态下电功率之比；
（3）根据P=U₀I，分析电路的总功率达到最小和最大的条件，根据并联电路电流的规律和欧姆定律结合电流表允许通过的最大电流，分别求出通过变阻器的最小和最大电流，从而求出滑动变阻器的功率P₄与P₄'之比．

解答 解：（1）灯的电阻R_L=$\frac{{{U}_{L}}^{2}}{{P}_{L}}=\frac{（12V）^{2}}{18W}$=8Ω；
（2）当只闭合开关S、S₁时，将滑动变阻器的滑片移至中点，电路图如图中的①所示：

电压表V的示数为U₁，电路总功率为P₁；然后将滑片移至最右端，电压表V的示数为U₁'，电路总功率为P₁'
根据P=UI，在①的两种状态下，通过的电路的电流之比$\frac{{I}_{1}}{{I′}_{1}}=\frac{\frac{{P}_{1}}{{U}_{0}}}{\frac{{P′}_{1}}{{U}_{0}}}=\frac{{P}_{1}}{{P′}_{1}}=\frac{3}{2}$，根据欧姆定律I=$\frac{U}{R}$，两种状态下的电流之比：$\frac{{I}_{1}}{{I′}_{1}}=\frac{\frac{{U}_{1}}{8Ω+0．{5R}_{2}}}{\frac{{U′}_{1}}{8Ω{+R}_{2}}}=\frac{3}{2}$，又$\frac{{U}_{1}}{{U′}_{1}}=\frac{7}{8}$，解之：R₂=40Ω；
在①的两种状态下，根据电压不变时，通过的电流与电阻成反比，所以有$\frac{{{I}_{1}}^{′}}{{I}_{1}}=\frac{8Ω+20Ω{+R}_{1}}{8Ω+40Ω{+R}_{1}}=\frac{2}{3}$，R₁=12Ω，
当只闭合开关S、S₁、S₂时，电路图如上图中的②所示，当只闭合开关S、S₁、S₃时，灯泡正常发光，电路图如图中的③所示，
根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$有，P₂与P₃的比值，$\frac{{P}_{2}}{{P}_{3}}=\frac{\frac{{{U}_{0}}^{2}}{{R}_{1}}}{\frac{{{U}_{0}}^{2}}{{R}_{L}}}=\frac{{R}_{L}}{{R}_{1}}=\frac{8Ω}{12Ω}=\frac{2}{3}$；，
（3 ）若只闭合开关S、S₂和S₃，电路图如上图中的④所示，
根据欧姆定律，通过R₁的电流I₁₁=$\frac{{U}_{0}}{{R}_{1}}=\frac{12V}{12Ω}$=1A是不变的，当R₂的阻值为40Ω时，通过变阻器的电流最小I_最小=$\frac{{U}_{0}}{{R}_{2}}=\frac{12V}{40Ω}$=0.3A，根据并联电路电流的规律，总电流最小，根据P=U₀I此时电路消耗的电功率最小；
因电流表的量程为3A，当电流表示数最大为3A时，此时电路的总功率最大，
此时通过变阻器的最大电流为I_最大=3A-1A=2A，所以，电路的总功率达到最小和最大两种情况下，滑动变阻器的功率P₄与P₄'之比
$\frac{{P}_{4}}{{P′}_{4}}=\frac{{{U}_{0}I}_{最小}}{{{U}_{0}I}_{最大}}=\frac{{I}_{最小}}{{I}_{最大}}=\frac{0.3A}{2A}=\frac{3}{20}$．
答：（1）灯泡电阻为8Ω；
（2）P₂与P₃的比值为$\frac{2}{3}$；
（3）若只闭合开关S、S₂和S₃，在保证电路安全的前提下，求电路的总功率达到最小和最大两种情况下，滑动变阻器的功率P₄与P₄'之比为$\frac{3}{20}$．

点评 本题综合考查欧姆定律、串并联电路的规律，电功率的公式等知识，综合性，难度大，对能力要求高，属于压轴题．正确识别电路是解题的关键．