Question

15．如图所求圆柱形容器的底面积为250厘米²，物体A、B的密度分别为0.4×10³千克/米³和6×10³千克/米³，物体B的体积为250厘米³．当B物体放在A物体上静止时，如图甲，物体A露出水面的体积是其体积的$\frac{1}{10}$．求：
（1）物体A的体积是多少？
（2）将B物体放入水中，如图乙．则容器中的水面将如何变化？变化了多少？

Answer 1

分析 （1）在甲图中，把A和B看作一个整体，物体漂浮，根据浮力等于重力，利用F_浮=ρ_水gV_排、G=mg和$ρ=\frac{m}{V}$列出等式求解物体A的体积；
（2）在乙图中，根据物体漂浮，浮力等于重力，利用F_浮=ρ_水gV_排、G=mg和$ρ=\frac{m}{V}$列出等式求解A排开水的体积，求出甲图中AB排开水的体积，二者之差即为体积变化，据此判断水面如何变化，利用h=$\frac{△V}{S}$计算升高的高度．

解答 解：（1）设物体A的体积为V_A，则其排开水的体积为$\frac{9}{10}$V_A，
由图甲可知，当B物体放在A物体上静止时漂浮在水面上，则F_浮=G，
根据F_浮=ρ_水gV_排、G=mg和$ρ=\frac{m}{V}$可得，
ρ_水g$\frac{9}{10}{V}_{A}$=ρ_AgV_A+ρ_BgV_B，
代入数据得：1.0×10³kg/m³×10N/kg×$\frac{9}{10}$V_A=0.4×10³kg/m³×10N/kg×V_A+6×10³kg/m³×10N/kg×250×10^-6m³，
解得：V_A=3×10^-3m³，
（2）在甲图中V_排=$\frac{9}{10}$V_A=$\frac{9}{10}$×3×10^-3m³=2.7×10^-3m³，
由图乙可知，物体A漂浮，则F浮ˊ=G_A，即 ρ_水g${V}_{排}^{′}$=ρ_AgV_A，
代入数据得：1.0×10³kg/m³×10N/kg×${V}_{排}^{′}$=0.4×10³kg/m³×10N/kg×3×10^-3m³，
解得：${V}_{排}^{′}$=1.2×10^-3m³，
此时排开水的总体积为：V_总=${V}_{排}^{′}$=+V_B=1.2×10^-3m³+250×10^-6m³=1.45×10^-3m³
由甲乙图可知体积变化了：△V=V_排-V_总=2.7×10^-3m³-1.45×10^-3m³=1.250×10³m³=1250cm³．
所以容器中的同比原来升高了：h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{1250c{m}^{3}}{250c{m}^{2}}$=5cm．
答：（1）物体A的体积是3×10^-3m³；
（2）将B物体放入水中，如图乙．容器中的水面将升高，升高了5cm．

点评 此题考查阿基米德原理，涉及到重力、浮力、密度等公式的应用，是一道力学综合题，难度很大，解题的关键是各种公式的灵活应用．