Question

3．在一个足够深的容器内有一定量的水，将一个长10cm、横截面积50cm²的圆柱形实心塑料块挂于弹簧秤上，当塑料块底面刚好接触水面时，弹簧秤示数为4N，如图所示．已知弹簧的伸长与受到的拉力成正比关系，弹簧受到1N的拉力时伸长1cm，若往容器内缓慢加水，当所加水的体积至1400cm³时，弹簧秤示数恰为零，此过程中水面升高的高度△h与所加水的体积V成正比关系，根据以上信息，求：
（1）塑料块的密度．
（2）弹簧秤示数为零时，水面升高的高度．
（3）当加水420cm³时，弹簧测力计的示数．（g取10N/kg）

Answer 1

分析 （1）当塑料块底面刚好接触水面时，弹簧测力计的示数为塑料块的重力，然后根据V=Sh求出塑料块的体积，再利用密度公式求出塑料块的密度；
（2）弹簧秤示数为零时，F_浮=G，由F_浮=ρgV_排可求得排开水的体积，然后可求得变化的高度，根据“弹簧的伸长与受到的拉力成正比关系，弹簧受到1N的拉力时伸长1cm，”可知，当弹簧秤示数为零时，弹簧秤缩短4cm，”然后可求水面升高的高度．
（3）根据题意及第（2）问的计算可知，加水1400cm³时，水面升高12cm，弹簧缩短4cm，可求得当加水420cm³时，液面变化的高度，根据弹簧的伸长与受到的拉力成正比关系，可求得弹簧缩短的长度，然后可知其浮力，最后利用F_浮=G-F_拉可求得弹簧测力计的示数．

解答 解：（1）根据G=mg可得，圆柱形实心塑料块的质量：
m=$\frac{G}{g}$=$\frac{4N}{10N/kg}$=0.4kg，
塑料块的体积：
V_塑料=Sh=50cm²×10cm=500cm³=5×10^-4m³，
塑料块的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{0.4kg}{5×1{0}^{-4}{m}^{3}}$=0.8×10³kg/m³；
（2）当弹簧秤示数为零时，塑料块漂浮，F_浮=G=4N，
由F_浮=ρgV_排可得，V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{4N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=4×10^-4m³，
h_液=$\frac{{V}_{排}}{S}$=$\frac{4×1{0}^{-4}{m}^{3}}{50×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.08m=8cm；
由题意“弹簧的伸长与受到的拉力成正比关系，弹簧受到1N的拉力时伸长1cm，”可知，当弹簧秤示数为零时，弹簧秤缩短4cm，则水面升高的高度△h=4cm+8cm=12cm；
（3）由题意及第（2）问的计算可知，加水1400cm³时，水面升高12cm，弹簧缩短4cm，当加水420cm³时，则$\frac{△h′}{12cm}$=$\frac{420c{m}^{3}}{1400c{m}^{3}}$，解得△h′=3.6cm，
设弹簧缩短为△l，则$\frac{△l}{4cm}$=$\frac{3.6cm}{12cm}$，
解得△l=1.2cm，
可知此时塑料块受到浮力${F}_{浮}^{′}$=1.2N，
则弹簧测力计的示数F′=G-${F}_{浮}^{′}$=4N-1.2N=2.8N．
答：（1）塑料块的密度为0.8×10³kg/m³；
（2）弹簧秤示数为零时，水面升高的高度为12cm．
（3）当加水420cm³时，弹簧测力计的示数为2.8N．

点评 本题考查了密度公式和重力公式、阿基米德原理、物体浮沉条件的应用，有一定的拔高难度，属于难题，计算过程要注意单位的换算．