Question

13．如图所示，甲、乙两个实心均匀正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等，若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去不同高度的一部分后，剩余部分对水平地面的压力相等．请你比较甲和乙切去的高度的大小关系，要求写出推导分析过程，推导过程中需要的物理量请提前设定．

Answer 1

分析 由于两个物体都是规则的实心柱状物体，可利用p=ρgh先判断出两个物体的密度大小，然后表示出切除不同高度后，剩余部分对水平面的压力相等，结合甲乙对地面的压强相等分析甲和乙切去的高度的大小关系．

解答 证明：对于地面上放置的实心柱状物体，地面受到的压强：p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh；
因为两物体对水平面的压强相同，则p=ρ_甲gh_甲=ρ_乙gh_乙，且h_甲＞h_乙，故ρ_甲＜ρ_乙；
当从水平方向截去不同高度h后，剩余的甲物体对水平面的压力：F_甲=ρ_甲g（h_甲-h_甲′）³；
剩余的乙物体对水平面的压力：F_乙=ρ_乙g（h_乙-h_乙′）³；
由于F_甲=F_乙，即ρ_甲gh_甲²（h_甲-h_甲′）=ρ_乙gh_乙²（h_乙-h_乙′）；
ρ_甲gh_甲（h_甲²-h_甲h_甲′）=ρ_乙gh_乙（h_乙²-h_乙h_乙′）
因为ρ_甲gh_甲=ρ_乙gh_乙，所以h_甲²-h_甲h_甲′=h_乙²-h_乙h_乙′
即$\frac{{h}_{甲}-{h}_{甲}′}{{h}_{乙}}$=$\frac{{h}_{乙}-{h}_{乙}′}{{h}_{甲}}$
$\frac{{h}_{甲}-{h}_{甲}′}{{h}_{乙}-{h}_{乙}′}$=$\frac{{h}_{乙}}{{h}_{甲}}$＜1
故（h_甲-h_甲′）＜（h_乙-h_乙′）；
又因为h_甲＞h_乙，所以甲和乙切去的高度的大小关系可能为h_甲′＞h_乙′．

点评 此题是典型的柱状固体的压强问题，要根据已知条件，灵活选用压强计算式p=$\frac{F}{S}$和p=ρgh（适用于实心柱体对支撑面的压强）进行分析解答．